两两有公共根的三个一元二次方程

青青子衿

【关键词】：数论、多项式、代数方程、公共根
\begin{align}
x^2-p_{\overset{\,}{1}}x+q_{\overset{\,}{1}}&=0\\
x^2-p_{\overset{\,}{2}}x+q_{\overset{\,}{2}}&=0\\
x^2-p_{\overset{\,}{3}}x+q_{\overset{\,}{3}}&=0
\end{align}
三个一元二次方程两两有公共根，证明：
\[
{p_{\overset{\,}{1}}}^2
+{p_{\overset{\,}{2}}}^2
+{p_{\overset{\,}{3}}}^2
+4\left(
q_{\overset{\,}{1}}
+q_{\overset{\,}{2}}
+q_{\overset{\,}{3}}\right)=
2\left(
p_{\overset{\,}{1}}p_{\overset{\,}{2}}
+p_{\overset{\,}{2}}p_{\overset{\,}{3}}
+p_{\overset{\,}{3}}p_{\overset{\,}{1}}
\right) \]
另外，这个命题可以推广到更多组的情形吗？