二阶线性常微分方程的一个反问题

青青子衿

1. Solve[
2.   D[x*(Cos[x] - Sin[x]), {x, 2}] + P*D[x*(Cos[x] - Sin[x]), {x, 1}] +
3.      Q == 0 &&
4.    D[x*(Cos[x] + Sin[x]), {x, 2}] + P*D[x*(Cos[x] + Sin[x]), {x, 1}] +
5.       Q == 0, {P, Q}] // Factor
6. DSolve[y''[x] - (2 Cos[x] - x Sin[x])/(x Cos[x] + Sin[x])
7.      y'[x] + (2 + x^2) /(x Cos[x] + Sin[x]) == 0, y[x], x]

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我们可以利用两个线性无关的特解构造齐次二阶线性常微分方程（当然很多情况下化为变系数二阶线性ODE），但是不好控制它的基函数
\begin{gather*}
y''-\dfrac{2\cos(x)-x\sin(x)}{x\cos(x)+\sin(x)}y'+\frac{x^2+2}{x \cos(x)+ \sin(x)}=0\\
\\
y=x\cos(x)+ C_1x\sin(x)+C_2
\end{gather*}
...

1. U = x*Cos[x];
2. V = x*Sin[x];
3. Solve[
4.   D[U, {x, 2}] + P*D[U, {x, 1}] + Q (U) == 0 &&
5.    D[V, {x, 2}] + P*D[V, {x, 1}] + Q (V) == 0, {P, Q}] // Factor

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...
可是如何构造通解形如\(\,y=C_1{\color{red}x}\cos(x)+C_2{\color{red}x}\sin(x)\,\)的齐次二阶常微分方程，如果不存在请说明理由
???

Infinity

可以通过直接求各阶导数，消去积分常数，得到微分方程\[x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0\]

1. g[x_] := a x Cos[x] + b x Sin[x];
2. Eliminate[{ddy == g''[x], dy == g'[x], y == g[x]}, {a, b}]
3. DSolve[ x^2 y''[x] == 2 x y'[x] - (x^2 + 2) y[x], y[x], x];
4. % /. {  C[1] :> (Subscript[C, 1] + Subscript[C, 2] I)/2,
5.    C[2] :> Subscript[C, 1] I + Subscript[C, 2]} // ExpToTrig

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注意，积分常数是任意的，所以需要对积分常数进行一定的变换才能得到所给的通解形式。

Infinity

也可以绕一个圈子，通解可视为母函数，积分常数选择特殊值构造特解并泰勒展开，得到一个合适的数列（方便找出数列递推关系），有了递推关系就容易得到微分方程。
比如令$C_1=C_2=1$，于是\[y(x)=x+x^2-\frac{x^3}{2}-\frac{x^4}{6}+\frac{x^5}{24}+\frac{x^6}{120}-\frac{x^7}{720}-\frac{x^8}{5040}+\cdots=\sum_{n\geqslant 1}a_nx^n\]故有\[a_n=\frac{1}{(n-1)!}\tan \frac{(2n-1)\pi}{4}\quad(n\geqslant 1)\]易得递推关系$n(n+1)a_{n+2}+a_n=0$.
因为\[y=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots\\
(x^2(\frac{y}{x^2})')'=y''-\frac{2y'}{x}+\frac{2y}{x^2}=2a_3x+2\cdot3a_4x^2\cdots+n(n+1)a_{n+2}x^n+\cdots\]故有$y''-\frac{2y'}{x}+\frac{2y}{x^2}+y=0$，整理得$x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0$.

青青子衿

回复 3# Infinity
太奇妙了，还可以这么玩呀！
\begin{align*}
y&=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots\\
\left(x^2\left(\dfrac{y}{x^2}\right)'\right)'=y''-\frac{2y'}{x}+\frac{2y}{x^2}
&=2a_3x+2\cdot3a_4x^2+\cdots+n(n+1)a_{n+2}x^n+\cdots
\end{align*}

Infinity

回复 4# 青青子衿
通常情况是根据递推公式解微分方程求母函数，然后得到通项。这里只不过是反过来用而已。