椭圆的复特征

青青子衿

什么是椭圆的复特征？

hbghlyj

界?
10. 椭圆特征不等式:我们已知中心在原点 $O$, 长、短半轴分别为 $a, b$, 半轴的比率 $p=\frac{a}{b} \geqslant 1$. 当 $p \neq 1$ 时长轴与 $x$ 轴的交角为 $\theta(0 \leqslant \theta<\pi)$ 的椭圆方程为
$$
\gamma x^2-2 \beta x y+\alpha y^2=p b^2
$$
式中$$\alpha=p(\cos \theta)^{2}+\frac{1}{p}(\sin \theta)^{2}, \quad \beta=\left(p-\frac{1}{p}\right) \cos \theta \sin \theta, \quad \gamma=p(\sin \theta)^{2}+\frac{1}{p}(\cos \theta)^{2}$$
利用 $\mu=-\frac{p-1}{p+1} e^{2\color{#f00}?}$ 和 $\lambda=\frac{2 \mu b}{p+1}$, 椭圆方程也可以写成
$$
|z+\mu \bar{z}|=\lambda \text {. }
$$
因此, $p, \theta$ 或 $\alpha, \beta, \gamma$ 称为椭圆的特征, 它们的关系为 $\alpha \gamma-\beta^2=1$. 而 $\mu$ 称为椭圆的复特征,在圆的情形, $p=1, \alpha=\gamma=1, \mu=\beta=0$.

我算的是$$\mu =-\frac{p+1}{p-1}e^{i2\theta}$$和$$\lambda =\frac{2pb}{p-1}$$

hbghlyj

验证:

1. $Assumptions = Element[x | y | θ | p | b, Reals];
2. α = p Cos[θ]^2 + 1/p Sin[θ]^2;
3. β = (p - 1/p) Cos[θ] Sin[θ];
4. γ = p Sin[θ]^2 + 1/p Cos[θ]^2;
5. μ = -(p + 1)/(p - 1) Exp[I 2 θ];
6. λ = (2 p b)/(p - 1);
7. f1 = γ x^2 - 2 β x y + α y^2 - p b^2;
8. f2 = (z + μ Conjugate[z]) (Conjugate[μ] z + Conjugate[z]) - λ^2 /. z -> x + I y;
9. f1 - (p - 1)^2/(4 p) f2 // FullSimplify

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输出 0

hbghlyj

圆方程可以写成$\abs{z}=1$, 即$$\abs{\frac{z+\bar{z}}{2}+\frac{z-\bar z}2}=1$$
椭圆方程可以写成$\abs{f^{-1}(z)}=1$, 即$$\abs{\frac{e^{-i\theta}z+e^{i\theta}\bar{z}}{2 a}+\frac{e^{-i\theta}z-e^{i\theta}\bar z}{2 b}}=1$$在$\abs{}$内取共轭得$$\abs{\frac{e^{i\theta}\bar z+e^{-i\theta}z}{2 a}+\frac{e^{i\theta}\bar z-e^{-i\theta}
z}{2 b}}=1$$在$\abs{}$内除以$z$的系数$e^{-i\theta}(\frac1{2a}-\frac1{2b})$, 并在右边除以$\abs{e^{-i\theta}(\frac1{2a}-\frac1{2b})}=-(\frac1{2a}-\frac1{2b})$得\[\abs{z+\mu\bar z}=\lambda\]

hbghlyj

椭圆的$p=\frac ab>1$得$\abs{\mu}=\frac{p+1}{p-1}>1$.
当$\abs{\mu}<1$, $\lambda$为正数时, $\abs{z+\mu\bar z}=\lambda$也是椭圆.
因为可以在$\abs{}$内取共轭, $\abs{\bar z+\bar\mu z}=\lambda$, 除以$\bar\mu$变成$\abs{z+\frac1{\bar\mu}\bar z}=\frac{\lambda}{\abs{\mu}}$, 现在$\abs{p'}=\abs{\frac1{\bar\mu}}>1$.
所以$\mu$和$\frac1{\bar\mu}$表示的椭圆的集合相同.

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方程$\abs{z+\mu\bar z}=\lambda\,(\mu\in\mathbb C,\lambda\in\mathbb R^+)$只能表示圆/椭圆:
设$\mu=\mu_1+i\mu_2$.

1. Collect[Abs[x+I y+(\[Mu]1+I \[Mu]2)(x-I y)]^2//ComplexExpand,{x,y}]

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\[x^2 \left(\mu_1^2+2 \mu_1+\mu_2^2+1\right)+4\mu_2 x y+y^2 \left(\mu_1^2-2 \mu_1+\mu_2^2+1\right)\]计算判别式

1. 4 \[Mu]2 ^2- (1-2 \[Mu]1+\[Mu]1^2+\[Mu]2^2) (1+2 \[Mu]1+\[Mu]1^2+\[Mu]2^2)//Factor

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$$-\left(\mu_1^2+\mu_2^2-1\right)^2\le0$$
这个在2D仿射变换的复数公式看得明显: 圆/椭圆经过实仿射变换还是圆/椭圆.