【查错】定积分 $\int_0^1 \frac {x-1}{\ln x}\rmd x$

业余的业余

问题: 求定积分 $$\int_0^1 \cfrac{x-1}{\ln x}\mathrm{d}x$$

已经知道正确结果是 $\ln 2$. 请查找下面过程的错误。谢谢！

做 $u=\ln x$ 的代换， 则原积分等于$$\int_{-\infty}^0 \cfrac{e^{2u}-e^u}{u}\mathrm{d}u$$

定义 $\displaystyle I(t)=\int_{-\infty}^0 \cfrac{e^{2tu}-e^{tu}}{u}\mathrm{d}u$, 则

$I'(t)=\int_{-\infty}^0 \cfrac{\partial}{\partial t}\cfrac{e^{2tu}-e^{tu}}{u}\mathrm{d}u$

$=\int_{-\infty}^0 2e^{2tu}-e^{tu} \rmd u$
$\displaystyle =\left. \cfrac{e^{2tu}}t-\cfrac {e^{tu}}t \right|_{u=-\infty}^{u=0}=0$

故 $I(t)$为常数，原式$=I(1)=I(-\infty)=0$

色k

大概就是最后的 `I(1)=I(-\infty)=0` 有问题
首先 `t` 不能为负，会发散的，所以要考虑无穷也应该是正无穷
但 `I(+\infty)` 也并非显然为零啊，因为 `t` 越大 `u\to0` 时也越大
另外 `I'(0)` 也不存在，`I(0)` 处就未必连续，所以也用不上

业余的业余

回复 2# 色k

谢谢k版! 我把 $u$ 和 $t$ 的角色混了。

如果 $I'(t)=0$, 是不是意味着这里不管 $t$ 取哪个正数，结果都是 $\ln 2$? 还是说前面的过程已经有问题了？

色k

回复 3# 业余的业余

我用软件测试过，随便取几个正数 t 的确都是 ln2，所以前面应该没啥大问题

业余的业余

回复 4# 色k

非常感谢。虽然是条死路，但也还得到了一个有趣的结论。

业余的业余

$\displaystyle I(t)=\int_{-\infty}^0 \cfrac{e^{2tu}-e^{tu}}{u}\mathrm{d}u$
$=\int_{-\infty}^0 \cfrac{e^{2tu}-e^{tu}}{tu}\mathrm{d}tu$
$=\int_{-\infty}^0 \cfrac{e^{2x}-e^{x}}{x}\mathrm{d}x\hspace{1cm}\text{(作 x=ut 的代换)}$

正确的无用功。

色k

回复 6# 业余的业余