印度理工高考题改

业余的业余

对任一满足 $ (f(0))^2+(f'(0))^2=85 $且两次可微的函数 $f: \mathbb{R}\to[-2,2]$, 求证存在 $\alpha\in(-4,4)$ 满足 $f(\alpha)+f''(\alpha)=0$ 且 $f'(\alpha)\ne 0$

就考微分中值定理，觉得蛮刁的，放到中国的高考不知道有多少比例的学生能做出来？

附原题: 复选题(可能有1个或多个正确的项)

For every twice differentiable function $f:\mathbb{R}\to[-2,2]$ with $(f(0))^2+(f'(0))^2=85$, which of the following statement(s) is(are) TRUE?

(A) There exist $r,s\in \mathbb{R}$, where $r<s$, such that $f$ is one-one on the open interval $(r,s)$

(B) There exists $x_0\in(-4,0)$ such that $|f'(x_0)|\le 1$

(C) $\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=1$

(D) There exists $\alpha\in (-4,4)$ such that $f(\alpha)+f''(\alpha)=0$ and $f'(\alpha)\ne 0$

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2018年的印度高考数学题

业余的业余

回复 2# facebooker

是的。印度的题也很有特色，感觉比中国的高考题甚至还要略难。也可能是偏好不同。

业余的业余

原题:
(A) 显然正确。$f'(0)$ 显然不为 $0$, 那么存在一个包含 $0$ 的区间 $(r,s)$, 使得在此区间中 $f'(x)$ 与 $f'(0)$ 同号。那么 $f(x)$ 在此区间严格单调，固是一对一的。

(B) 拉格朗日中值定理，绝对值不等式
存在 $x_0\in(-4,0)$ 使得 $|f'(x_0)|=\left|\cfrac {f(0)-f(-4)}{0--4}\right|\le \cfrac{|f(0)|+|f(-4)|}{4}\le \cfrac{2+2}{4}=1$

B正确

(C) 显然不对。

(D) B的解决给 D提供了线索。由对称性，显然 在 $(0,4)$上存在 $x_1$ 使得 $|f'(x_1)|\le 1$.

令 $g(x)=f^2(x)+(f'(x))^2$, 则 $g(0)=85$, 由 $f$ 的值域易知 $|f'(0)|\ge \sqrt{81}$。不失一般性，我们只考虑 $f'(0)\ge \sqrt{81}$ 的情形。

由 $f'(x)$ 的连续性，存在 $-4<x_0<a<0<b<x_1<4$, 使得在区间 $(a,b)$ 中 $f'(x)>0$ 恒成立，且 $1<g(a)=g(b)<g(0)$, 由罗尔定理，存在 $\alpha\in(a,b)$, 使得

$g'(\alpha)=2f'(\alpha)(f(\alpha)-f''(\alpha))=0$
因已限定 $f'(\alpha)\ne 0$, 固 $f(\alpha)-f''(\alpha)=0$. 又$(a,b)\subset (-4,4)$, 所以 D 是成立的。