几何表达式Geometry Expression

hbghlyj

特点1.有两种作图模式："输入约束constraints"及"构造式作图construction".所谓输入约束比较适合于几何探索，比如作一个三角形的内切圆，如果你不会尺规作图，也不知道什么是角平分线，完全可以作一个自由的圆，然后分别与三边添加"相切"约束，就自动作出来了，调整圆心的位置就能自动得到旁切圆。
2.能输入、输出几何表达式，这也是"输入约束"的结果，还能复制为各种格式，还能“发送到Mathematica”
下面利用几何表达式探究与两个圆相切的圆的圆心的轨迹方程。设给定的圆的圆心为(0,0)(a,0),半径为r,s,用几何表达式求出"参数化方程式"
第一种：与两圆均内切
第一段：圆心在上方：$\left (\begin{array}{l}X=\dfrac{a^{2}+(r-t)^{2}-(-s+t)^{2}}{2\cdot a}\\Y=\dfrac{\sqrt{r+s-2\cdot t+\left |a\right |}\cdot \sqrt{r-s+\left |a\right |}\cdot \sqrt{r-s-\left |a\right |}\cdot \sqrt{-r-s+2\cdot t+\left |a\right |}}{2\cdot a}\end{array}\right )$,参数t是圆的半径
"隐式方程式"$-a^{4}+4\cdot Y^{2}\cdot r^{2}+2\cdot a^{2}\cdot r^{2}-r^{4}-8\cdot Y^{2}\cdot r\cdot s-4\cdot a^{2}\cdot r\cdot s+4\cdot r^{3}\cdot s+4\cdot Y^{2}\cdot s^{2}+2\cdot a^{2}\cdot s^{2}-6\cdot r^{2}\cdot s^{2}+4\cdot r\cdot s^{3}-s^{4}+X^{2}\cdot \left (-4\cdot a^{2}+4\cdot r^{2}-8\cdot r\cdot s+4\cdot s^{2}\right )+X\cdot \left (4\cdot a^{3}-4\cdot a\cdot r^{2}+8\cdot a\cdot r\cdot s-4\cdot a\cdot s^{2}\right )=0$


第二段：圆心在下方：$\left (\begin{array}{l}X=\dfrac{a^{2}+(r-t)^{2}-(-s+t)^{2}}{2\cdot a}\\Y=\dfrac{-\sqrt{r+s-2\cdot t+\left |a\right |}\cdot \sqrt{r-s+\left |a\right |}\cdot \sqrt{r-s-\left |a\right |}\cdot \sqrt{-r-s+2\cdot t+\left |a\right |}}{2\cdot a}\end{array}\right )$
$-a^{4}+4\cdot Y^{2}\cdot r^{2}+2\cdot a^{2}\cdot r^{2}-r^{4}-8\cdot Y^{2}\cdot r\cdot s-4\cdot a^{2}\cdot r\cdot s+4\cdot r^{3}\cdot s+4\cdot Y^{2}\cdot s^{2}+2\cdot a^{2}\cdot s^{2}-6\cdot r^{2}\cdot s^{2}+4\cdot r\cdot s^{3}-s^{4}+X^{2}\cdot \left (-4\cdot a^{2}+4\cdot r^{2}-8\cdot r\cdot s+4\cdot s^{2}\right )+X\cdot \left (4\cdot a^{3}-4\cdot a\cdot r^{2}+8\cdot a\cdot r\cdot s-4\cdot a\cdot s^{2}\right )=0$
第二种：与大圆内切，与小圆外切
第一段：$\left (\begin{array}{l}X=\dfrac{a^{2}+(r-t)^{2}-(s+t)^{2}}{2\cdot a}\\Y=\dfrac{\sqrt{r+s+\left |a\right |}\cdot \sqrt{r+s-\left |a\right |}\cdot \sqrt{r-s-2\cdot t+\left |a\right |}\cdot \sqrt{-r+s+2\cdot t+\left |a\right |}}{2\cdot a}\end{array}\right )$
$-a^{4}+4\cdot Y^{2}\cdot r^{2}+2\cdot a^{2}\cdot r^{2}-r^{4}+8\cdot Y^{2}\cdot r\cdot s+4\cdot a^{2}\cdot r\cdot s-4\cdot r^{3}\cdot s+4\cdot Y^{2}\cdot s^{2}+2\cdot a^{2}\cdot s^{2}-6\cdot r^{2}\cdot s^{2}-4\cdot r\cdot s^{3}-s^{4}+X^{2}\cdot \left (-4\cdot a^{2}+4\cdot r^{2}+8\cdot r\cdot s+4\cdot s^{2}\right )+X\cdot \left (4\cdot a^{3}-4\cdot a\cdot r^{2}-8\cdot a\cdot r\cdot s-4\cdot a\cdot s^{2}\right )=0$

第二段：$-a^{4}+4\cdot Y^{2}\cdot r^{2}+2\cdot a^{2}\cdot r^{2}-r^{4}-8\cdot Y^{2}\cdot r\cdot s-4\cdot a^{2}\cdot r\cdot s+4\cdot r^{3}\cdot s+4\cdot Y^{2}\cdot s^{2}+2\cdot a^{2}\cdot s^{2}-6\cdot r^{2}\cdot s^{2}+4\cdot r\cdot s^{3}-s^{4}+X^{2}\cdot \left (-4\cdot a^{2}+4\cdot r^{2}-8\cdot r\cdot s+4\cdot s^{2}\right )+X\cdot \left (4\cdot a^{3}-4\cdot a\cdot r^{2}+8\cdot a\cdot r\cdot s-4\cdot a\cdot s^{2}\right )=0$

hbghlyj

有很多情形。已知的两圆的位置关系可以是内含、内切、相交、外切、外离，都会影响轨迹的。根据圆与已知圆内切或外切应该是以已知圆圆心为焦点的两个椭圆？大雾

hbghlyj

回复 1# hbghlyj
疑问：为什么程序给出的a是带绝对值的？

hbghlyj

各类作图软件的对比
几何表达式(Geometry Expression)

笔者高三接触的软件，开始时不习惯，后来惊为天人。能支持直接度量为符号值的也只此一家了，且支持导出为LaTeX，Mathematica等软件的格式

链接	地址
3D	不支持
迭代方便程度	不支持迭代
更新速度	蜗速
稳定程度	有些基本遇不到的bug
多平台	仅windows
使用人数	人数更少
QQ群	822606694
公式	不支持 $\LaTeX$
教程丰富度	油管有英文教程，群里有笔者汉化（机翻）的最新教程
自定义工具	不支持

属性很弱是不是？所以以演示为目的 的人请绕行。对计算有要求的请进，不会失望的。