题目
设数$a$具有以下性质：对于任意的四个实数${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，${{x}_{3}}$，${{x}_{4}}$，总可以取整数${{k}_{1}}$，${{k}_{2}}$，${{k}_{3}}$，${{k}_{4}}$，使得${{\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant 4}{\left( \left( {{x}_{i}}-{{k}_{i}} \right)-\left( {{x}_{j}}-{{k}_{j}} \right) \right)}}^{2}}\leqslant a$，求这样的$a$的最小值．
答案
$\frac{5}{4}$．
解析
可设$0={{x}_{1}}\leqslant {{x}_{2}}\leqslant {{x}_{3}}\leqslant {{x}_{4}}\leqslant 1$，并且非负数$u={{x}_{2}}$，$v={{x}_{3}}-{{x}_{2}}$，$w={{x}_{4}}-{{x}_{3}}$均$\leqslant 1-{{x}_{4}}=t=1-u-v-w$．要求出$\sigma ={{u}^{2}}+{{v}^{2}}+{{w}^{2}}+{{\left( u+v \right)}^{2}}+{{\left( v+w \right)}^{2}}+{{\left( u+v+w \right)}^{2}}$的最大值．$\sigma $是$u$的二次函数，系数均$\geqslant 0$，所以$\sigma $随$u$递增，在$u=t=\frac{1-v-w}{2}$时最大，即$\sigma \leqslant {{\sigma }_{1}}={{\left( \frac{1-v-w}{2} \right)}^{2}}+{{v}^{2}}+{{w}^{2}}+{{\left( \frac{1+v-w}{2} \right)}^{2}}+{{\left( v+w \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1+v+w}{2} \right)}^{2}}$．同样${{\sigma }_{1}}$在$v=t=\frac{1-w}{3}$时最大，这时$u=v=t=\frac{1-w}{3}$，$\sigma \leqslant {{\sigma }_{2}}=6{{t}^{2}}+{{\left( 1-3t \right)}^{2}}+{{\left( 1-2t \right)}^{2}}+{{\left( 1-t \right)}^{2}}$．显然$t\leqslant \frac{1}{3}$，并且$1-t=u+v+w\leqslant 3t$，所以$t\geqslant \frac{1}{4}$．${{\sigma }_{2}}$在$t=\frac{1}{4}$时取得最大值$\frac{5}{4}$．所以$\sigma \leqslant \frac{5}{4}$，在$u=v=w=t=\frac{1}{4}$时取得．即$a$的最小值为$\frac{5}{4}$． | 
