不可约n次曲线最多有$(n-1)(n-2)\over2$个二重点

hbghlyj

不可约三次曲线至多有1个二重点
例如,笛卡尔叶形线(Descartes's Folium)

环索线(strophoid)

不可约四次曲线至多有3个二重点
例如,Ampersand curve$$(y^2-x^2)(x-1)(2x-3)=4(x^2+y^2-2x)^2$$

利用Singular的paraPlaneCurve得到它的有理参数化:
\begin{cases}x={3645 - 864\sqrt3 t + 63t^2 + 12\sqrt3 t^3\over2754 - 864\sqrt3 t + 306t^2 - 24\sqrt3 t^3+4t^4}\\
y={-1620\sqrt3 + 1647t - 162\sqrt3 t^2 - 3t^3 + 2\sqrt3 t^4\over2754 - 864\sqrt3 t + 306t^2 - 24\sqrt3 t^3+4t^4}\end{cases}
例如,這帖的圆内螺线 (Hypocycloid).

不可约五次曲线至多有6个二重点
例如,\begin{cases}x=-8 t^4+ 8t^2 - 1\\y=16t^5 - 20t^3 + 5t\end{cases}
消去t变为
$$x^{5}-\frac{5}{4} x^{3}+\frac{5}{16} x-\frac{1}{2} y^{4}+\frac{1}{2} y^{2}-\frac{1}{16}=0$$

math.stackexchange.com/questions/619639/unicursal-curve-double-points

hbghlyj

A. Gathmann 的 Plane Algebratic Curve的34页

青青子衿

hbghlyj 发表于 2022-2-21 16:40

不可约d次曲线的多重点仅有二重点，其几何亏格公式比较简单.
若不可约d次曲线有s个二重点，有t个尖点，那么其几何亏格公式为：
\[ \operatorname{genus}(C) = \frac{(d-1)(d-2)}{2} -s-t \]
若不可约$\,d\,$次曲线有高阶多重点，上述公式需要改进.
若不可约$\,d\,$次曲线有$\,s_r\,$个$\,r\,$重点，有$\,t\,$个尖点，那么其几何亏格公式为
\[ \operatorname{genus}(C) = \frac{(d-1)(d-2)}{2} - \sum_{k=2}^r \frac{k(k- 1)s_{k}}{2}-t \]

The genus of a plane algebraic curve of degree N is the integer (N-1)(N-2)/2 minus the orders of multiplicity of singular points of the curve in the complex projective plane.
N次平面代数曲线的亏格是整数(N-1)(N-2)/2减去复射影平面中曲线奇异点的重阶数。

麦克劳林在他19岁时写的《有机的几何学》(Geometria Organica , 1720)中证明了,一条n次不可约曲线的二重点的最多个数是(n-1)(n-2)/2. 为此他把一个k重点当作k(k-1)/2个二重点.
《古今数学思想 第2册》
第23章 “18世纪的解析几何与微分几何”
第3节 “高次平面曲线”

亏格为0的曲线是有理曲线.
所以也解释了为什么不可约二次曲线都可以有理参数化.
不可约三次曲线可以有理参数化当且仅当三次曲线要么有一个二重自交点，要么有一个尖点.
不可约四次曲线可以有理参数化当且仅当以下五种情况：
①有三个二重自交点；
②有一个三重点自交；
③有三个尖点；
④同时有两个二重自交点与一个尖点；
⑤同时有两个尖点与一个二重自交点.

实系数代数曲线的虚奇点和实系数多项式一样是成对出现的.
由实系数代数曲线虚奇点成对可知，实系数三次曲线没有虚奇点.



接下来举一些三次曲线和四次曲线可以有理参数化的例子.

Maple可以计算代数曲线的亏格

1. with(algcurves):
2. f := (x^2 + y^2)^2 + 18*(x^2 + y^2) - 27 - 8*(x^3 - 3*x*y^2)
3. factor(f)
4. genus(f,x,y)

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hbghlyj

Earl Richard, 'Making surfaces',
Topology: A Very Short Introduction (Oxford, 2019)
page 46

Provided there are no singular points, then a degree d equation defines a Riemann surface which is topologically a torus with $g$ holes. There is a profound but easily described connection between the degree of a curve’s equation $d$ and the genus $g$ of its Riemann surface. This is given by the degree-genus formula which states that \[g=\frac12(d-1)(d-2)\] where $g$ is the genus of the Riemann surface and $d$ is the degree of the curve’s equation. Remembering the examples we have met, note that $d=2$ for $y=x^2$ gives $g=0$⁠, a sphere, and $d=3$ for $y^2=x(x-1)(x-2)$ gives $g=1$⁠, a torus. For curves with singular points, the formula can be generalized including a correction term for each singularity, as shown by Max Noether in 1884.

青青子衿

Singular在线版又好用了
singular.uni-kl.de:8003/
LIB "paraplanecurves.lib";
ring R = 0,(x,y,z),dp;
poly f1 = (y^2-x^2)*(x-z)*(2*x-3*z)-4*(x^2+y^2-2*x*z)^2;
def Rp1 = paraPlaneCurve(f1);
setring Rp1;
PARA;
PARA[1]=(12a)*s3t+63*s2t2+(-864a)*st3+3645*t4                                                                                                      
PARA[2]=(2a)*s4-3*s3t+(-162a)*s2t2+1647*st3+(-1620a)*t4                                                                                            
PARA[3]=4*s4+(-24a)*s3t+306*s2t2+(-864a)*st3+2754*t4  

青青子衿

青青子衿 发表于 2023-5-22 11:07
Singular在线版又好用了
https://www.singular.uni-kl.de:8003/
LIB "paraplanecurves.lib";

才发现SageMathCell也支持Singular😂
sagecell.sagemath.org/

青青子衿

青青子衿 发表于 2023-9-10 19:07
才发现SageMathCell也支持Singular😂
https://sagecell.sagemath.org/

如下可无理参数化的曲线，能不能找到有理参数化呢？
\begin{align*}
\left(\frac{\sqrt{(1+t)(1+kt)}-\sqrt{(1-t)(1-kt)}}{2},t\right)\\
\left(\frac{1+k}{\sqrt{(1-t)(k-t)}+\sqrt{(1+t)(k+t)}},\frac{1}{t}\right)
\end{align*}

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/1992943/maximum-number-of-singu ... e-curve-in-mathbbcp2
An example of irreducible plane curve of degree $d$ and exactly $d−1\choose2$ singular points is described in Fischer G. - Plane Algebraic Curves, chapter 3, section 9!

青青子衿

如下曲线f亏格为零，似乎Singular参数化不了
Maple可以参数化，但是结果超级长

with(algcurves):
f := 4*y*(1 - y)*(1-(1/3)*y)*(1 - 6*(1/3)*x^2 + 4*(1/3)*x^3 + 4*(1/3)^2*x^3 -3*(1/3)^2*x^4)^2 -
x*(3 - 4*x - 4*(1/3)*x + 6*(1/3)*x^2 -(1/3)^2*x^4)^2*(1 - (1/3)*y^2)^2;
genus(f, x, y);
homogeneous(f, x, y, z);
v≔parametrization(f,x,y,t);


poly f1 = 4*y*z^2*(z - y)*(z - (1/3)*y)*(z^4 - 6*(1/3)*x^2*z^2 + 4*(1/3)*x^3*z + 4*(1/3)^2*x^3*z - 3*(1/3)^2*x^4)^2 - x*(3*z^4 - 4*x*z^3 - 4*(1/3)*x*z^3 + 6*(1/3)*x^2*z^2 - (1/3)^2*x^4)^2*(z^2 - (1/3)*y^2)^2;

poly f2 = 12*y* z^2*(y - z)*(y - 3*z) *(3*x^4 - 16*x^3*z + 18*x^2*z^2 - 9*z^4)^2 - x*(y^2 - 3*z^2)^2*(x^4 - 18*x^2*z^2 + 48*x*z^3 - 27*z^4)^2;

hbghlyj

青青子衿 发表于 2024-12-5 02:51
如下曲线f亏格为零，

您能帮忙计算一下曲线的genus吗：$y^5=x(x-1)(x-2)$

我计算 x 投影的分歧点：它们是（0,0），（1,0），（2,0）并且它们的分歧阶数为 5，并且无穷点（1：0：0）可能是分歧点。

曲线在 $(1:0:0)$ 处是奇点，经过blow up的计算后，它是 5 阶的分歧点。由Riemann-Hurwitz公式给出genus为 4。

您上面有说genus公式有一个奇点校正项。曲线在无穷远处有一个奇点：$(1:0:0)$。此点周围邻域的方程为 $y^5-z^2x^2-3z^3x-2z^4$，因此曲線的genus为 $g(C)=(d-1)d/2-r(r-1)/2=(5-1)(4-1)/2-2(2-1)/2=6-1=5$.

然而，这里的genus再次与具有分歧点的计算不一致。 此外，即使在无穷远处的分歧算錯了，这也只能将曲线的genus减小到小于 4。