|
|
由对称性，不妨设 $a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_n$，则对 $i=1$, $2$, \ldots, $n$ 均有
\[(a_i-a_1)(a_i-a_n)\leqslant 0\iff a_i^2\leqslant (a_1+a_n)a_i-a_1a_n,\]
于是
\begin{align*}
&\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}n-\left( \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}n \right)^2 \\
\leqslant{}& \frac{(a_1+a_n)(a_1+a_2+\cdots+a_n)-na_1a_n}n-\left( \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}n \right)^2\\
={}&\frac{(na_1+na_n)(a_1+a_2+\cdots +a_n)-(na_1)\cdot(na_n)-(a_1+a_2+\cdots +a_n)^2}{n^2} \\
={}&\frac{(a_1+a_2+\cdots +a_n-na_1)(na_n-a_1-a_2-\cdots -a_n)}{n^2} \\
\leqslant{}&\frac{(a_1+a_2+\cdots +a_n-na_1+na_n-a_1-a_2-\cdots -a_n)^2}{4n^2} \\
={}&\frac{(a_n-a_1)^2}4,
\end{align*}
依题意显然 $(a_n-a_1)^2\leqslant a^2$，故原不等式得证。
等号成立当且仅当 $n$ 为偶数时 $a_i$ 中有一半是 $a$ 另一半是 $0$。 |
|
