立体几何中的最值问题

青青子衿

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC和A1D1的中点，P为EF上的一个动点，M为CC1上的一个动点，求|AP|+|PM|的最小值

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，L为AA1上的一个动点，M为体对角线BD1上的一个动点，N为CD上的一个动点，求|LM|+|MN|的最小值
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱A1B1的中点，F为棱CD的中点，连接EF,A1C1，R为A1C1上的动点，S为EF上的动点，T为BC上的动点.
求△RST周长的最小值与面积的最小值

乌贼

第一问，最小值为$\sqrt{3}$

第二、三问不会。

乌贼

第二问中$L$为$AA'$中一特殊定点的最小值用第一问的几何方法可求，动点（即求最小值中的最小值）几何法不会，代数更不懂
立体中四边形LBL'D'与平面中的四边形LBL'D'一样

realnumber

第一问，设正方体棱长为1，则有$A(0,0,0),E(1,0.5,0),F(0,0.5,1),P(x,y,z)$
因为$t\vv{EF}=\vv{EP} $,得到$P(1-t,0.5,t)$,因为PM与$CC_1$垂直，所以M(1,1,t)
如此得$\abs{AP}+\abs{PM}=\sqrt{(1-t)^2+0.25+t^2}+\sqrt{t^2+0.25}$,大约是$f(t)_{min}=f(t_0)≈f(0.27679)=1.49326$...最小.
求导后可得$t_0$是方程$8t^3+3t-1=0$的根.

乌贼

第一问答案真的是小于$\sqrt3$吗？

乌贼

回复 5# 乌贼
真能，二楼的$AE+EC \approx 1.618$。思路错了……

乌贼

两异面直线，其中一条绕另一条旋转一圈得到的几何体是啥？

乌贼

回复 7# 乌贼
不管，先说思路，$CC'$绕$EF$旋转一圈，得一圆台（暂且认为），平面$AEF$截圆台得一等腰梯形，以等腰梯形的对称轴、上底分别为$y,x$轴建立坐标系，问题能否化为坐标平面内求$A$到$y$轴另一侧等腰梯形腰线距离的最小值。

kuing

两异面直线，其中一条绕另一条旋转一圈得到的几何体是啥？
乌贼 发表于 2013-12-27 13:39

除特殊情况外，都是旋转双曲面，自己百度一下吧。

乌贼

回复 9# kuing
双曲线方程能求出来吗？

kuing

算了吧，难度守恒。

青青子衿

回复 11# kuing

算了吧，难度守恒。
kuing 发表于 2013-12-27 21:31

难度守恒定律？？

青青子衿

青青子衿

回复 10# 乌贼

回复  kuing 
双曲面方程能求出来吗？
乌贼 发表于 2013-12-27 20:19

能！

乌贼

回复 14# 青青子衿

其妙