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isee

回复 40# kuing

是哪，都是你解的，先。
不过，多了解析法
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=5487

kuing

网址：zhihu.com/question/492684799
标题：这道解析几何最值题怎么做？

我的回答：
与上次这题：这道解析几何最值题该怎么做？（也就是本帖 32#）感觉是同一个人出嘀，不妨再凑一回装X解法：

注意到
\begin{align*}
5^5-AP^2\cdot BP^2={}&5^5-\bigl(x^2+(y-3)^2\bigr)\bigl((x-7)^2+(y-4)^2\bigr)\\
={}&\frac19(10x^2-102x+741)(x+3)^2+\frac73(2x^2-18x+111)(y+1)^2\\
&+\frac43\left( \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}4-1 \right)(-19x^2+168x-3y^2+42y-1155)\\
\geqslant{}& 0,
\end{align*}所以 $AP\cdot BP\leqslant 25\sqrt 5$ ，当 x=-3, y=-1 时取等。

发布于 2021-12-15 16:11

isee

如图，作高 CD，垂足为 D，记 CD = h，AD = y，DB = x，则条件化为 x + y = 2 且
\[\frac {2\sqrt {h^2+ ...
kuing 发表于 2021-12-3 14:58

题：在 $\triangle ABC$ 中满足 $AB=2,$ $\frac 2{\sin A}+\frac 1{\tan B}=2\sqrt 3,$ 求 $\triangle ABC$ 面积最小值.

受答主 kuing，枍倾尘 的启发，特别是不想看 枍倾尘 后段不等关系，自己尝试写了下：

$$\frac 2{\sin A}+\frac 1{\tan B}=2\sqrt 3\iff 2\sqrt 3 a\sin B=2b+a\cos B.$$

于是

\begin{align*} 2\sqrt 3 a\sin B&=2b+a\cos B\\[1em] &=2\sqrt{a^2+4-4a\cos B}+a\cos B\\[1em] &=2\sqrt{\color{blue}{\left( 2-a\cos B \right)^2+a^2\sin^2B}}+a\cos B\\[1em] &=\sqrt{(1+3)\big(\left( 2-a\cos B \right)^2+a^2\sin^2B}\big)+a\cos B\\[1em] &\geqslant \color{olive}{(2-a\cos B)+\sqrt 3a\sin B}+a\cos B\\[1em] &=2+\sqrt 3a\sin B\\[1em] \Rightarrow \ a\sin B &\geqslant \frac {2\sqrt 3}3, \ \text{取}=\text{时},\ \frac {\sqrt 3}1=\frac {a\sin B}{2-a\cos B}(=\tan A), \end{align*}

所以 $$S_{\triangle ABC}=\frac 12 \cdot 2a\sin B=a\sin B\geqslant \frac {2\sqrt 3}3.$$