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设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵, 我们按如下方式构造几个序列:
$$
\begin{array}{lll}
A_{1}=A, & p_{2}=\operatorname{tr} A_{1}, & B_{1}=A_{1}-p_{1} E, \\
A_{2}=B_{1} A, & p_{2}=\frac{1}{2} \operatorname{tr} A_{2}, & B_{2}=A_{2}-p_{2} E, \\
A_{3}=B_{2} A, & p_{3}=\frac{1}{3} \operatorname{tr} A_{3}, & B_{3}=A_{3}-p_{3} E, \\
A_{n}=B_{n-1} A, & p_{n}=\frac{1}{n} \operatorname{tr} A_{n},& B_{n}=A_{n}-p_{n} E .
\end{array}
$$
证明上述 $p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}$ 是 $A$ 的特征多项式
$$
\Delta_{A}(\lambda)=|\lambda E-A|=\lambda^{n}-p_{1} \lambda^{n-1}-p_{2} \lambda^{n-2}-\cdots-p_{n}
$$
的系数, 并且 $B_{n}=0$. 当 $A$ 是可逆阵时, $A^{-1}=\frac{1}{p_{n}} B_{n-1}$.
证明: 设 $A$ 的特征多项式
$$
\Delta_{A}(\lambda)=|\lambda E-A|=\lambda^{n}-a_{1} \lambda^{n-1}-a_{2} \lambda^{n-2}-\cdots-a_{n},
$$
显然 $a_{1}=\operatorname{tr} A=\operatorname{tr} A_{1}=p_{1}$, 归纳地假设 $p_{1}=a_{1}, p_{2}=a_{2}, \cdots, p_{m-1}=a_{m-1}$, 我们来证 $p_{m}=a_{m}$. 从 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} ; B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$; 以及 $p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}$ 的构造方式容易得到
$$
\begin{aligned}
A_{m} &=A^{m}-p_{1} A^{m-1}-p_{2} A^{m 2}-\cdots-p_{m-1} A \\
&=A^{m}-a_{1} A^{m-1}-a_{2} A^{m-2}-\cdots-a_{m-1} A,
\end{aligned}
$$
因此得到
$$
\begin{aligned}
p_{m} &=\frac{1}{m} \operatorname{tr} A_{m}=\frac{1}{m} \operatorname{tr}\left(A^{m}-a_{1} A^{m-1}-a_{2} A^{m-2}-\cdots-a_{m-1} A\right) \\
&=\frac{1}{m}\left(\operatorname{tr} A^{m}-a_{1} \operatorname{tr} A^{m-1}-a_{2} \operatorname{tr} A^{m-2}-\cdots-a_{m-1} \operatorname{tr} A\right) \\
&=\frac{1}{m}\left(s_{m}-a_{1} s_{m-1}-a_{2} s_{m-2}-\cdots-a_{m-1} s_{1}\right),
\end{aligned}
$$
式中 $s_{i}=\lambda_{1}^{i}+\lambda_{2}^{i}+\cdots+\lambda_{n}^{i}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值.根据牛顿公式立即得到
$$
p_{m}=\frac{1}{m} \cdot m a_{m}=a_{m},
$$
这就证明了对一切 $1 \leqslant i \leqslant n, p_{i}=a_{i}$.
据凯莱-哈密顿定理知 $B_{n}=A^{n}-p_{1} A^{n-1}-p_{2} A^{n-2}-\cdots-p_{n} E=0$. 当 $A$ 可逆时, 从$B_n=B_{n-1}A-p_nE=0$和$p_n=\det A$知$A^{-1}=\frac1{p_n}B_{n-1}$. |
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kuing
发表于 2021-9-1 15:48
