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kuing
Post time 2024-3-7 14:04
本帖最后由 kuing 于 2024-3-7 16:22 编辑 前晚有微信网友问我一问题：
当时没想起这帖，结果又写了一遍，直到刚才才想起这帖来唉
以下是昨天写的过程，和上面 9# 大致一样。
为了简洁起见，先将问题改为：
曲线 `\Gamma`: `Ax^2+By^2=1`（`AB\ne0`）上有 `P(x_0,y_0)`，直线 `PM`, `PN` 的斜率分别为 `k_1`, `k_2`，两直线交 `\Gamma` 于 `S`, `T`，求直线 `ST` 的方程。
为了计算方便，平移坐标系，使得 `P` 为原点，此时 `\Gamma` 变成
\[A(x+x_0)^2+B(y+y_0)^2=1,\]
也就是
\[Ax^2+2Ax_0x+By^2+2By_0y=0,\]
而两直线就变成 `PM`: `y=k_1x`, `PN`: `y=k_2x`，代入解得
\[x_S=-\frac{2(Ax_0+Bk_1y_0)}{A+Bk_1^2},~x_T=-\frac{2(Ax_0+Bk_2y_0)}{A+Bk_2^2},\quad(*)\]
那么直线 `ST` 的方程为
\[\frac{y-k_1x_S}{k_2x_T-k_1x_S}=\frac{x-x_S}{x_T-x_S},\]
然后我们把坐标系平移回原来的地方，上述方程就变成
\[\frac{y-y_0-k_1x_S}{k_2x_T-k_1x_S}=\frac{x-x_0-x_S}{x_T-x_S},\]
再把 (*) 代入上式中，最终可以化简为
\[A(1+Ax_0x-By_0y)+Bk_1k_2(1-Ax_0x+By_0y)+AB(k_1+k_2)(y_0x+x_0y)=0,\]
还算挺好看。
换回原图的问法，即方程为 `x^2/A+y^2/B=1`, `M(x_1,y_1)`, `N(x_2,y_2)` 的话，结果就是
\begin{align*}
&B(x_0-x_1)(x_0-x_2)\left(1+\frac{x_0x}A-\frac{y_0y}B\right)\\
&+A(y_0-y_1)(y_0-y_2)\left(1-\frac{x_0x}A+\frac{y_0y}B\right)\\
&+\bigl((x_0-x_1)(y_0-y_2)+(y_0-y_1)(x_0-x_2)\bigr)(y_0x+x_0y)=0,
\end{align*}
此结果就无需考虑斜率是否存在。
展开成 `(\dots)x+(\dots)y+\dots=0` 的话也可以整理成
\begin{align*}
&\left(B(x_0-x_1-x_2)+\frac BAx_0x_1x_2+y_0(x_1y_2+x_2y_1)-x_0y_1y_2\right)x\\
&+\left(A(y_0-y_1-y_2)+\frac ABy_0y_1y_2+x_0(x_1y_2+x_2y_1)-y_0x_1x_2\right)y\\
&+B(x_0-x_1)(x_0-x_2)+A(y_0-y_1)(y_0-y_2)=0.
\end{align*}
=====
顺便把抛物线的也写一下吧，当 `\Gamma` 为 `y^2=2px` 时，若用 `k_1`, `k_2` 来写的话，直线就是
\[p(x+x_0)+y_0y-\left(\frac1{k_1}+\frac1{k_2}\right)p(y+y_0)+\frac{2p^2}{k_1k_2}=0,\]
若用 `M(x_1,y_1)`, `N(x_2,y_2)` 来写的话，就是
\[p(x+x_0)+y_0y-p\left(\frac{x_0-x_1}{y_0-y_1}+\frac{x_0-x_2}{y_0-y_2}\right)(y+y_0)+2p^2\frac{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}{(y_0-y_1)(y_0-y_2)}=0,\]
去分母化简整理成
\begin{align*}
&2p(y_0-y_1)(y_0-y_2)x\\
&+2\Bigl(p\bigl((x_1+x_2)y_0-x_0(y_1+y_2)-x_2y_1-x_1y_2\bigr)+y_0y_1y_2\Bigr)y\\
&+(2px_1-y_0y_1)(2px_2-y_0y_2)=0.
\end{align*} |
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isee
Post time 2021-11-30 10:53
