存在f使得$\|f\|=1$且对任意的$y\in Y$都有$f(y)=0$

abababa

对于赋范空间$X$的真闭子空间$Y$，选择$x\in X\setminus Y$，则必存在$X$上的线性泛函$f$，使得$\|f\|=1$且$f(x)=\inf_{y\in Y}\|x-y\|>0$且对任意的$y\in Y$都有$f(y)=0$

这是不是一个定理？要怎么证明呢？我目前已知的两个定理如下：
1. $X$是赋范空间，对任意的$c\in X$，只要$c\neq0$，就存在$X$上的有界线性泛函$f$，使得$\|f\|=1$且$f(c)=\|c\|$。
2.设$G$是赋范空间$X$的子空间，$x_0\in X$且$d(x_0,G)>0$，则存在$X$上的有界线性泛函$f$，使得$\|f\|=\frac{1}{d(x_0,G)}$且$f(x_0)=1$，且对任意的$x\in G$都有$f(x)=0$。

感觉和第二个定理很相似，应该是对称的，问题里那个$f(x)=\inf_{y\in Y}\|x-y\|$在2里面对应着$\|f\|=\frac{1}{d(x_0,G)}$，而问题里的$\|f\|=1$对应着2里的$f(x_0)=1$。具体要怎么弄？

abababa

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根据上面maven网友的提示，弄出来了：
设$d=d(a,Y)$，因为$a\not\in X$，所以$d>0$。令$G=\{y+ka: y\in Y\}$，定义$g: G\to \mathbb{R}$为
\[g(y+ka)=kd, y\in Y, k\in\mathbb{R}\]
容易证明$g$是线性的，且$g(a)=d$，且对任意的$y\in Y$都有$g(y)=0$，且当$k\neq0$时$\|y+ka\|=\abs{k}\|a-(-\frac{1}{k}y)\|$，因为$Y$是子空间，所以$-\frac{1}{k}y\in Y$，于是$\|a-(-\frac{1}{k}y)\|$是$a$到$-\frac{1}{k}y\in Y$的距离，结合$d=d(a,Y)$，所以$\|a-(-\frac{1}{k}y)\|\ge d$，因此$\|y+ka\|\ge\abs{k}d$。而$\abs{g(y+ka)}=\abs{kd}=\abs{k}d$，所以
\[\abs{g(y+ka)}=\abs{k}d\le\|y+ka\|\]
当$k = 0$时上式显然也成立，于是
\[\|g\|=\sup_{y+ka \in G}\frac{\abs{g(y+ka)}}{\|y+ka\|}\le\sup_{y+ka\in G}\frac{\|y+ka\|}{\|y+ka\|} = 1\]
这说明$g$是$G$上的有界线性泛函。

由于$d=d(a,Y)$，因此存在$Y$中的序列$\{y_n\}$使得$\|a-y_n\|\to d$，于是
\[d=\abs{g(a)-0}=\abs{g(a)-g(y_n)}=\abs{g(a-y_n)}\le\|g\|\|a-y_n\|\to d\|g\|\]
因此$1\le\|g\|$，结合$\|g\|\le 1$就得到了$\|g\|=1$。最后根据哈恩-巴拿赫延拓定理，就存在$X$上的有界线性泛函$f$，使得$\|f\|=\|g\|=1$，且$f|_{G}=g$，因此$f(a)=g(a)=d$，且对任意的$y\in Y$都有$f(y)=g(y)=0$。

Czhang271828

思路很简单, 帮助看帖的人梳理一下:

Step 1. $p(z):=\inf_{y\in Y}\|z-y\|$ 为 $X$ 上的连续的半范数 (正齐次性, 次可加).

Step 2. $\mathrm{span}(Y,x)$ 上, 线性泛函 $f=p$, 从而 $f$ 连续.

Step 3. $\mathrm{span}(Y,x)$ 上:

1. $\|f\|\leq 1$, 因为 $0\in Y$, 从而 $|f(z)|\leq \|z-0\|$;  

2. $\|f\|\geq 1$, 因为存在一列 $\{y_n\}_{n\geq 1}\subset Y$ 使得
   $$
   \lim_{n\to\infty}\|x+y_n\|=\inf_{y\in Y}\|x+y\|=|f(x)|=|f(x+y_n)|.
   $$
   注: 与身边人交流时, 发现有人难以理解此处的 $\geq
1$. 该小节证得 $\|f\|=1$ 可达而未否定 $\|f\|> 1$ 之可能性, 从而给出 $\|f\|\geq 1$.

Step 4. 由 Hahn-Banach 定理知显然存在 $f$ 在 $X$ 上的延拓 $F$, 且 $\|f\|=\|F\|$.