无限接近圆柱的多面体的表面积

hbghlyj

Schwartz悖论：将圆柱的高$m$等分，将底面圆$n$等分，形成$n$个顶角$2\theta$的等腰三角形，$\theta=\pi/n$.
$m,n\to\infty$多面体$P_n$无限接近曲面 $S$，但多面体的表面积 $A(m,n)$ 并不接近曲面面积 $A(S)$.
$A(m,n)$ 的极限和$m,n$趋于无穷的方式有关。

1. 先$n \rightarrow \infty$,再$m \to \infty$时$A(m,n)\to A(S)$.
2. $A(\infty,n)=\infty$. 所以先$m \rightarrow \infty$,再$n \to \infty$时$A(m,n)\to\infty$.
3. 固定常数$c>0$，$m=cn^2$，当$n \rightarrow \infty$时$A(m, n)\to2 \pi r \sqrt{h^2+\frac{r^2 \pi^4 c^2}{4}}$.

如何证明$A(m,n)$ 的极限总是 $\geqslant A(S)$？

$$ \begin{aligned} A(m, n) &=2 m n\left(r \sin \frac{\pi}{n}\right) \sqrt{\left(\frac{h}{m}\right)^{2}+r^{2}\left(1-\cos \frac{\pi}{n}\right)^{2}} \\ &=2 r\left(n \sin \frac{\pi}{n}\right) \sqrt{h^{2}+(m r)^{2}\left(1-\cos \frac{\pi}{n}\right)^{2}} \end{aligned} $$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2022-3-15 14:04
如何证明$A(m,n)$ 的极限总是 $\geqslant A(S)$？

两个不等式相反：
\begin{align*}
n \sin \tfrac{\pi}{n}&\leqslant \pi\\
\sqrt{h^{2}+(m r)^{2}\left(1-\cos \tfrac{\pi}{n}\right)^{2}}&\geqslant h
\end{align*}所以 $A(m,n)$ 不是对于任何$m,n$都$\geqslant A(S)$.

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当$m,n\to\infty$时，$n \sin \frac{\pi}{n}\to\pi$，而$\sqrt{h^{2}+(m r)^{2}\left(1-\cos \frac{\pi}{n}\right)^{2}}$的极限是一个$\geqslant h$的值：$$2 \pi r \sqrt{h^2+\frac{r^2 \pi^4 c^2}{4}}$$其中$c=\lim\frac{m}{n^2}$，所以这个值与$m,n$趋于无穷的方式有关。

hbghlyj

这个回答说，当近似圆柱体时，要求多面体的法线也收敛到曲面的法线，这种表面积的近似就有效。
如何证明呢
多面体的法线收敛到曲面的法线，则多面体的表面积 $A(P_n)$ 收敛到曲面面积$A(S)$？