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求$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nz}{n^{2}}\quad(z\in\Bbb C)$的收敛域
(MSE)
\begin{align*}
\sum_{n=1}^N \frac{\sin(nz)}{n^2}&=\frac1{2i}\sum_{n=1}^N \frac{e^{inz}-e^{-inz}}{n^2}\\\\
&=\frac1{2i}\sum_{n=1}^N \frac{e^{-ny}e^{inx}}{n^2}-\frac1{2i}\sum_{n=1}^N \frac{e^{ny}e^{-inx}}{n^2}\tag1
\end{align*}
(1) 的第一项对所有 $x$ 和所有 $y≥0$ 绝对收敛，对所有 $x$ 和所有 $y\ge y_0^+>0$ 一致收敛, 对$y<0$发散.
(1) 的第二项对所有 $x$ 和所有 $y≤0$ 绝对收敛，对所有 $x$ 和所有 $y\le y_0^-<0$ 一致收敛, 对$y>0$发散.
两项的收敛域的交集是$y=0$,即$z\in\Bbb R$.
如果我们将定义域限制为实数，根据 Weierstrass M-Test ，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nz}{n^{2}}$对所有$x$一致收敛。
但是，对于任何 $z∈\Bbb C$，该级数不能一致地收敛，因为在该级数收敛的任何点的每个邻域中都包含一个该级数发散的点。 |
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