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设$\int_{0}^{1} f=\int_{0}^{1} g=1$,证明:存在区间$I \subset[0,1]$使得
$$\int_{I} f=\int_{I} g=\frac{1}{2}$$
证 我们定义
$$
D=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid 0 \leqslant x \leqslant y \leqslant 1\right\},
$$
并令
$$
\boldsymbol{G}(x, y)=\left(\int_{x}^{y} f(s) \mathrm{d} s-\frac{1}{2}, \int_{x}^{y} g(s) \mathrm{d} s-\frac{1}{2}\right) .
$$
由 $f, g$ 的可积性, 可知 $\boldsymbol{G}$ 是闭的单连通区域 $D$ 上的连续向量场. 如果 $\boldsymbol{G}(x, y)$ 在 $D$ 的某一点 $(a, b)$ 上取零向量, 就证明了我们所要的结论. 否则, 可以考虑 $\gamma(\boldsymbol{G}, \partial D)$. $\partial D$ 由三条直线段组成. 在对角线 $x=y$ 上取常值、故旋转角度为 0. 在水平边界和垂直边界上, 注意到
$$
\boldsymbol{G}(0, x)+\boldsymbol{G}(x, 1)=(0,0), \quad 0 \leqslant x \leqslant 1 .
$$
因而
$$
\boldsymbol{G}(x, 1)=-\boldsymbol{G}(0, x), \quad 0 \leqslant x \leqslant 1 .
$$
因此水平边界的任一点的向量恰好与垂直边界上对应点的向量反向. 这说明 $\boldsymbol{G}$ 沿水平边界的旋转角度与其沿垂直边界的旋转角度一样. 而 $\boldsymbol G(0,0)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$, $\boldsymbol G(0,1)=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. 故 $\boldsymbol{G}$ 沿垂直边界的旋转角度为 $2 k \pi+\pi, k$ 为整数. 所以有
$$
\gamma(\boldsymbol{G}, \partial D)=\frac{0+2(2 k \pi+\pi)}{2 \pi}=2 k+1 \neq 0 .
$$
由旋转度的性质 2 知, $\boldsymbol{G}$ 必在 $D$ 上某点 $(a, b)$ 处取零向量, 也即
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .
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