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定义不准. Соболев 空间 $W^{k,p}(\Omega)$ 之严格定义包含以下三类:
[1] Fourier 变换定义 (个人最倾向)
[2] $C^\infty(\Omega)$ 在 $W^{k,p}(\Omega)$ 范数下的完备化
[3] 以下定义 (一般 PDE 教材的说法)
定义 Соболев 空间 $W^{k,p}(\Omega)$ 为 $\Omega$ 中 $k$ 阶及以下弱导数均收敛的局部可积函数之集, i.e.,
$$
W^{k,p}(\Omega):=\{u\in L_{\mathrm{loc}}(\Omega):\sum_{|\alpha|\leq k}\|\mathscr D^\alpha u\|_{L^p(\Omega)}<\infty\}.
$$
其中 $p\in[1,\infty]$, $k\in\mathbb N\cup \{0\}$, $\Omega\subset \mathbb R^n$.
这里有若干注明:
1. 此处不采用 Fourier 变换之定义法, 因而仅限定 $k\in\mathbb N\cup \{0\}$.
2. 称 $u$ 为 $\Omega$ 上局部可积的, 若且仅若对任意紧集 $K\subset \Omega$ 总有 $u$ 在 $K$ 上可积.
3. 同一般 PDE 理论, 我们将对等的函数置于同一等价类中. 记 $u=v$ 若且仅若 $u-v$ 在零测集上取值非零.
4. 称 $\mathscr D^\alpha u$ 为 $u$ 的 $\alpha$-弱导数, 若且仅若对任意 $\phi\in C_c^\infty(\Omega)$ 总有 $\left< \mathscr D^\alpha u,\phi\right>=(-1)^{|\alpha|}\left< u,\mathscr D^\alpha \phi\right>$. 其中
$$
\left< u,v\right>:=\int_\Omega uv.
$$
$C_c^\infty(\Omega)$ 为 $\Omega$ 上具有紧支撑 (以下标 $_c$ 标注) 的光滑函数. 指标 $\alpha=(\alpha_1,\ldots ,\alpha_n)$, 且 $\alpha_i\in\mathbb N\cup\{0\}$. 定义
$$
\mathscr D^\alpha =\prod_{i=1}^n\dfrac{\partial^{\alpha_i}}{\partial x_i^{\alpha _i}}.
$$
在对等的意义下, 弱导数显然唯一.
5. $p\in[1,\infty)$ 时, 定义 $L^p$ 范数为
$$
\|u\|_{L^p(\Omega)}=\left(\int_\Omega |u|^p\right)^{1/p}.
$$
$p=\infty$ 时, 定义
$$
\|u\|_{L^\infty(\Omega)}=\inf M\quad m(\{x\in\Omega :|u(x)|\geq M\})=0.
$$
例如 $w(x)=\mathrm{sgn}(x)\in W^{1,1}([-1,1])$, 其中
$$
\partial_x w(x)=2\delta(x)\in W^{0,1}([-1,1]).
$$
请自行验证 $w(x)$ 可被 $[-1,1]$ 上的一列光滑函数 $\{\phi_n\}_{n\geq 1}$ 按照 Соболев 范数 $\|w\|_{W^{1,1}([-1,1])}:=\sum_{|\alpha|\leq 1}\|D^\alpha w\|_{L^p([-1,1])}$ 逼近.
下证明 $W^{k,p}(\Omega)$ 为完备空间, 即
$$
W^{k,p}(\Omega):=\{u\in L_{\mathrm{loc}}(\Omega):\| u\|_{W^{k,p}(\Omega)}<\infty\}
$$
在范数 $\|u\|_{W^{k,p}(\Omega)}:=\sum_{|\alpha|\leq k}\|\mathscr D^\alpha u\|_{L^p(\Omega)}$ 下完备.
**Proof.** 下验证 $\|u\|_{W^{k,p}(\Omega)}$ 为范数:
1. 显然 $\|u\|\geq 0$. 取等若且仅若 $\mathscr D^\alpha u\equiv 0$ 对一切 $\alpha(|\alpha|\leq k)$ 于 $\Omega$ 上成立, 因此 $u$ 等同于零函数.
2. 对任意 $a\in\mathbb R$ 总有 $\|au\|_{W^{k,p}(\Omega)}=|a|\cdot \|u\|_{W^{k,p}(\Omega)}$. 实际上, 对 $p\in[1,\infty)$ 总有
$$
\begin{align*}
\|au\|_{W^{k,p}(\Omega)}=&\left(\sum_{\alpha:|\alpha|\leq k}\|\mathscr D^\alpha au\|_{L^p(\Omega)}^p\right)^{1/p}\\
=&\left(\sum_{\alpha:|\alpha|\leq k}|a|^p\cdot \|\mathscr D^\alpha u\|_{L^p(\Omega)}^p\right)^{1/p}\\
=&|a|\cdot\left(\sum_{\alpha:|\alpha|\leq k}\|\mathscr D^\alpha u\|_{L^p(\Omega)}^p\right)^{1/p}\\
=&|a|\cdot \|u\|_{W^{k,p}(\Omega)}.
\end{align*}
$$
对 $p=\infty$ 有
$$
\begin{align*}
\|au\|_{W^{k,\infty}(\Omega)}=&\sum_{\alpha:|\alpha|\leq k}\|\mathscr D^\alpha au\|_{L^\infty (\Omega)}\\
=&|a|\cdot \sum_{\alpha:|\alpha|\leq k}\|\mathscr D^\alpha u\|_{L^\infty (\Omega)}\\
=&|a|\cdot \|u\|_{W^{k,p}}.
\end{align*}
$$
3. 对任意 $u,v\in W^{k,p}(\Omega)$, 我们断言成立如下三角不等式
$$
\|u+v\|_{W^{k,p}(\Omega)}\leq\|u\|_{W^{k,p}(\Omega)}+\|v\|_{W^{k,p}(\Omega)}
$$
由泛函分析知识知 $\ell^p(\mathbb R)$ 上的范数给出良定义的度量. 记 $u_\alpha:=\|\mathscr D^\alpha u\|_{L^p(\Omega)}$, $\{\alpha:|\alpha|\leq k\}=\{\alpha_i\}_{i=1}^N$, 则三角不等式转化为
$$
\begin{align*}
\|u+v\|_{W^{k,p}(\Omega)}=&\|((u+v)_{\alpha_i})_{i=1}^n\|_p\\
\leq &\|(u_{\alpha_i})_{i=1}^n+(v_{\alpha_i})_{i=1}^n\|_p\\
\leq &\|(u_{\alpha_i})_{i=1}^n\|_p+
\|(v_{\alpha_i})_{i=1}^n\|_p\\
\leq &\|u\|_{W^{k,p}(\Omega)}+\|v\|_{W^{k,p}(\Omega)}.
\end{align*}
$$
综上, $W^{k,p}(\Omega)$ 为赋范空间. 欲证其完备性, 只需证明 Cauchy 列 $\{u_n\}_{n\geq 1}\to u_0\in W^{k,p}(\Omega)$ 且 $\{\mathscr D^\alpha u_n\}_{n\geq 1}\to \mathscr D^\alpha u_0$, $\forall \alpha (|\alpha|\leq k)$. 记 $u_0$ 为 $\{u_n\}_{n\geq 1}$ 在 $L^p(\Omega)$ 中的极限, 且对任意 $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$ 总有
$$
\lim_{n\to\infty}\left< \mathscr D^\alpha u_n,\phi\right>=\lim_{n\to\infty}(-1)^\alpha\left< u_n,\mathscr D^\alpha \phi\right>=(-1)^\alpha\left< u_0,\mathscr D^\alpha \phi\right>.
$$
因此, $u_0$ 的 $\alpha (|\alpha|\leq k)$ 阶弱导数均为 $\{\mathscr D^\alpha u_n\}_{n\geq 1}$ 之极限. 从而 $u_0\in W^{k,p}(\Omega)$, 即 $W^{k,p}(\Omega)$ 为自身范数下的 Banach 空间. |
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Czhang271828
发表于 2022-4-18 18:49
