我想, 不管题主是怀以欣赏数学或是急于求成的心态对此题提问, 至少应该了解这道题源于哪门学科(首先排除数论之类的), 随后建议了解设立这门学科的目的: 毕竟题主说自己不是学生, 除非面对考试之类的压迫, 正常人一定不愿意学习对自己没用的知识. 读懂以下的内容基本可以帮助题主解决此题:
该题考察线性代数的知识. 线性代数这门学科主要研究的是有限维欧式空间 $\mathbb R^n$ 中所有线性子空间的关系. 用生活语言叙述, 就是量名结构 (一头牛, 欠三分钱) 和"与"这一操作形成的系统 (例如"一头牛与欠三分钱"是有意义的表述). 下面用极其简单的语言介绍一些线性代数的概念:
域: $(\mathbb F,+,\cdot )$ 为域若且仅若其满足如下条件
* $\mathbb F$ 为一个集合, $+$ 与 $\cdot$ 均为在 $\mathbb F$ 中封闭的二元运算. 例如 $\mathbb F$ 为有理数集 $\mathbb Q$, $+$ 与 $\cdot$ 分别为通常意义下的加法与乘法.
* $\mathbb F$ 关于运算 $+$ 满足:
1. 对任意 $a,b,c\in\mathbb F$, 均有 $(a+b)+c=a+(b+c)$, 即结合律. 这也保证了 $a+b+c$ 这样的式子有意义.
2. 存在 $e\in \mathbb F$ 使得对任意 $a\in\mathbb F$ 均有 $a+e=e+a=a$. 此处 $e$ 可以理解为 $0$. $e$ 的唯一性是由 $e=e'+e=e'$ 保证的.
3. 对任意 $a\in\mathbb F$, 存在唯一的 $\tilde a$ 使得 $a+\tilde a=\tilde a+a=e$. 此处 $\tilde a$ 称作 $a$ 的加法逆元.
4. 对任意 $a,b\in\mathbb F$, 均有 $a+b=b+a$, 即交换律.
* $\mathbb F$ 关于运算 $\cdot$ 满足:
1. 对任意 $a\in\mathbb F$, $a\cdot e=e\cdot a=e$.
2. 对任意 $a,b,c\in\mathbb F$, 均有 $(a+ b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$, 且 $c\cdot (a+ b)=c\cdot a+c\cdot b$ 即结合律, 即分配律.
3. 对任意 $a,b,c\in\mathbb F$, 均有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$, 即结合律. 这也保证了 $a\cdot b\cdot c$ 这样的式子有意义.
4. 存在 $i\in \mathbb F$ 使得对任意 $a\in\mathbb F$ 均有 $a\cdot i=i\cdot a=a$. 此处 $i$ 可以理解为 $1$. $i$ 的唯一性是由 $i=i'\cdot i=i'$ 保证的.
5. 对任意 $a\in\mathbb F\setminus\{0\}$, 存在唯一的 $\hat a$ 使得 $a\cdot \hat a=\hat a\cdot a=i$. 此处 $\tilde a$ 称作 $a$ 的加法逆元.
6. 对任意 $a,b\in\mathbb F$, 均有 $a\cdot b=b\cdot a$, 即交换律.
比如 $(\mathbb R,+,\cdot)$ 为实数域, $(\{\text{奇数}\},\{\text{偶数}\},+,\cdot )$ 为域, 其二元运算从实数域中自然地继承过来.
对给定的有限集合 $S$, 线性空间研究的是 $S$ 中元素的按照某种权重加和. 例如 $S$ 为小明书包里的东西(东西有限), $S$ 对应的线性空间中包含了"一个苹果与一个水杯"这一元素(暂时不理会其意义). 前面的所讲的权重限定在一个域 $\mathbb F$ 中, 比如 "$\pi$ 个水杯和 $\sqrt 2$ 个香蕉" 也是线性空间中的元素.
用数学的语言说, 记有限集合 $S=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$, 则 $S$ 在 $\mathbb F$ 上生成的线性空间 (记作 $V$) 为
$$
V:=\{a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n:a_1,a_2,\ldots x_n\in\mathbb F\}.
$$
对于 $(S,\mathbb F)$ 生成的线性空间 $V$, 域 $(\mathbb F,+,\cdot )$ 中的二元运算应当自然地兼容 $V$. 其规则为:
1. 对任意 $u,v\in V$, 总有 $u+v\in V$, 即 $V$ 关于 $+$ 封闭.
2. 对任意 $u,v\in V$, 总有 $u+v=v+u$, 即加法交换律.
3. 对任意 $u,v,w\in V$, 总有 $(u+v)+w=u+(v+w)$, 即加法结合律. 从而形如 $u+v+w$ 的式子有定义.
4. 存在 $\mathbf 0\in V$, 使得对任意的 $u\in V$ 总有 $u+\mathbf 0=\mathbf 0+u=u$. 此处 $\mathbf 0$ 的唯一性由 $\mathbf 0=\mathbf 0+\mathbf 0'=\mathbf 0'$ 保证.
5. 对任意 $u\in V$, 存在唯一的 $\tilde u$ 使得 $\tilde u+u=\mathbf 0$.
6. 对任意 $u\in V$, $k\in \mathbb F$, 总有 $k\cdot u\in V$.
7. 对任意 $u\in V$, 取乘法单位元 $i\in\mathbb F$, 总有 $i\cdot u=u$.
8. 对任意 $u,v\in V$, $k\in\mathbb F$, 总有 $k\cdot (u+v)=k\cdot u+k\cdot v$.
9. 对任意 $u\in V$, $k,l\in\mathbb F$, 总有 $(k+l)\cdot u=k\cdot u+l\cdot u$.
10. 对任意 $u\in V$, $k,l\in\mathbb F$, 总有 $(k\cdot l)\cdot u=k\cdot (l\cdot u)$.
可以理解, 人类根据文明发展之需要而一步步发掘了自然数, 整数, 有理数, 实数等系统, 其中有理数与实数对所谓加法与乘法足够兼容, 因此可以成为域. 不过人类不会直接使用数 (生活中的数学不是单纯的数字, 而是一头牛, 欠 $0.2$ 斤肉这样的量名结构), 数学在生活中的应用永远是在线性空间中.
子空间: 记 $V$ 为 $(S,\mathbb F)$ 生成的线性空间, 则对于任意 $V$ 的有限子集 $U$, $(U,\mathbb F)$ 生成的线性空间即为 $V$ 的子空间. $V$ 的子空间均能被上述的取子集的方式定义出来. 例如 $\mathbb R^4$ 为域 $\mathbb R$ 上的线性空间, $\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1+x_3=0,x_2,x_4\in\mathbb R\}$ 为 $\mathbb R^4$ 的子空间; 但 $\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1+x_3=1,x_2,x_4\in\mathbb R\}$ 不是 $\mathbb R^4$ 的子空间.
秩: 我们可以感受到, 线性空间 (显然线性空间的子空间也是线性空间) 的确源于一组可以按域上的权重加和的元素. 我们取 $\mathbb F$ 为固定的域, $a$ 为苹果, $b$ 为香蕉, $S_1=\{a,b\}$, $S_2=\{a,a+b,b\}$. 则 $S_1$ 与 $S_2$ 生成的线性空间 (记作 $V_1$ 与 $V_2$) 其实是相同的. 换言之, 抛弃 $S_2$ 中的一个元素 (比如 $a$) 不改变可生成的线性空间的大小. 实际上, $\{a+b,a-b\}$ 在 $\mathbb F$ 上生成的线性空间仍然为 $V_1$. 我们可以发现, 为了表示出线性空间 $V$, $S$ 中至少需要两个元素. 我们称 $V$ 的秩为 $2$.
线性无关: $V$ 中的一组元素 $\{u_1,u_2,\ldots, u_k\}$ 线性无关若且仅若这组元素的秩等于 $k$. 也就是说这组元素不包含就生成线性空间而言的冗余信息, 换言之, 在这组元素中去掉任意一个都无法生成原来能生成的线性空间.
特别地, 我们通常用如下语句说明线性无关: $\{u_1,u_2,\ldots, u_k\}$ 当且仅当对给定的 $c_1,c_2,\ldots, c_k\in\mathbb F$ 以下两种叙述等价
* $c_1u_1+c_2u_2+\cdots+c_ku_k=0$.
* $c_1=c_2=\cdots=c_k=0$.
线性相关: 线性无关之反义. |
Czhang271828
发表于 2022-5-3 21:19
