P 是△ABC角A平分线上一点 ，若 AB>AC，证明BD>CE

TSC999

P 是△ABC角A平分线上一点 ，BP 延长线交 AC 于 D，CP 延长线交 AB 于 E。若 AB>AC，证明 BD>CE。

此题证明思路是【数学中国】网友 Future_maths 给出的。本帖在方法上进行了一些简化。

kuing

记三边 `a`, `b`, `c`，设 `AE:EB=x`, `AD:DC=y`，因 `AP` 为平分线，由角平分线定理及塞瓦定理（楼主的图 2 那样）可得 `x:y=b:c`，于是可设 `b=kx`, `c=ky`。

由 `AE:EB=x` 得 `AE=\frac x{x+1}c`, `EB=\frac1{x+1}c`，则由斯特瓦尔特定理有
\begin{align*}
CE^2&=\frac{a^2\cdot AE+b^2\cdot EB}c-AE\cdot EB\\
&=\frac{xa^2+b^2}{x+1}-\frac x{(x+1)^2}c^2\\
&=\frac{xa^2+x^2k^2}{x+1}-\frac{xy^2k^2}{(x+1)^2}\\
&=\frac x{x+1}a^2+\frac{x^2+x(x^2-y^2)}{(x+1)^2}k^2,
\end{align*}
同理有
\[BD^2=\frac y{y+1}a^2+\frac{y^2+y(y^2-x^2)}{(y+1)^2}k^2,\]
当 `b\leqslant c` 时 `x\leqslant y`，则
\begin{align*}
CE^2&\leqslant\frac x{x+1}a^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}k^2,\\
BD^2&\geqslant\frac y{y+1}a^2+\frac{y^2}{(y+1)^2}k^2,
\end{align*}
又 `\frac x{x+1}\leqslant\frac y{y+1}`，所以 `CE^2\leqslant BD^2`，得证。