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zh.wikipedia.org/wiki/拉普拉斯方法
拉普拉斯方法是用于得出下列积分形式的近似解的方法：
$$\int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx$$
其中的$f(x)$是一个二次可微函数，$M$是一个很大的数，而积分边界点$a$与$b$则允许为无限大。此外，函数$f(x)$在此积分范围内的 全域极大值 所在处必须是唯一的并且不在边界点上。则它的近似解可以写为:
$$\int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{M\left|f''(x_{0})\right|}}}e^{Mf(x_{0})}{\text{ as }}M\to \infty .$$
其中的 $x_0$ 为极大值所在处。
拉普拉斯方法的想法概论
1. 相对误差
首先，我们得先知道的是，这里所谓的近似解是以 相对误差 在讲，而不是指 绝对误差 。因此，令
$$s={\sqrt {\frac {2\pi }{M\left|f''(x_{0})\right|}}}$$ ，
此 $s$ 很显然的当 $M$ 很大时为一个微小的数，则上述的积分可以写为
$$\begin{aligned}\int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx&=se^{Mf(x_{0})}{\frac {1}{s}}\int _{a}^{b}\!e^{M(f(x)-f(x_{0}))}\,dx\\&=se^{Mf(x_{0})}\int _{(a-x_{0})/s}^{(b-x_{0})/s}\!e^{M(f(sy+x_{0})-f(x_{0}))}\,dy\end{aligned}$$
因此，我们的相对误差很显然的为
$$\left|\int _{(a-x_{0})/s}^{(b-x_{0})/s}e^{M(f(sy+x_{0})-f(x_{0}))}dy-1\right|$$
现在，让我们把积分分为 $y\in [-D_{y},D_{y}]$ 的与余下的部分。2. 函数 ${\displaystyle e^{M\left(f(sy+x_{0})-f(x_{0})\right)}}$ 在极大值附近的行为，当 $M$ 很大时会趋近于 ${\displaystyle e^{-\pi y^{2}}}$
我们现在来研究 ${\displaystyle M\left(f(x)-f(x_{0})\right)}$ 的 泰勒展开 。这里展开的原点取 $x_0$ ，并将变数由 $x$ 换为 $y$ 因为我们是在对 $y$ 做积分，再加上 $x_0$ 为函数极大值所在处，因此，
$$\begin{aligned}M\left(f(x)-f(x_{0})\right)&={\frac {Mf''(x_{0})}{2}}s^{2}y^{2}+{\frac {Mf'''(x_{0})}{6}}s^{3}y^{3}+\cdots \\&=-\pi y^{2}+O\left({\frac {1}{\sqrt {M}}}\right).\end{aligned}$$
会发现高于二次微分的部分当 $M$ 增大时，会被压抑掉，而此 指数函数 则会越来越接近 高斯函数 ${\displaystyle e^{-\pi y^{2}}}$ 且 ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi y^{2}}dy=1}$ 。如下图所示：
 图为 ${\displaystyle e^{M[f(sy+x_{0})-f(x_{0})]}}$ ，其中$M$为 1, 2 与 3。红色线为 ${\displaystyle e^{-\pi y^{2}}}$
3. 当 $M$ 增加，则相对应的 $x$ 范围变小${\displaystyle y\in [-D_{y},D_{y}]}$ 的部分由上面論述可知當 $M$ 越大則越接近高斯函數；並且有趣的是，相對應的 $x$ 區間則越來越小，因為 ${\displaystyle x-x_0\in [-sD_{y},sD_{y}]}$ 與 ${\displaystyle {\sqrt {M}}}$ 成反比。4.若拉普拉斯方法所用的积分会收敛，它的相对误差相对应的非极大值附近的其余部分的积分就会随 $M$ 增大而趋近于0所以，即便 $D_y$ 取非常大， $sD_y$ 最后还是会变得非常小，那么，我们怎么保证余下的部分的积分也会趋近到0？
简单的想法是，设法找一个函数 ${\displaystyle m(x)}$ ，使它在余下的区域内 ${\displaystyle m(x)\geq f(x)}$ ，并且随着 $M$ 的增大，${\displaystyle e^{Mm(x)}}$ 的积分会趋近于0 即可。而指数函数只要指数部分为实数，它就一定大于0，并且当指数变大时，指数函数也会跟着变大。基于这两个理由， ${\displaystyle e^{Mf(x)}}$ 的积分也会趋近于0。 在此，我们可以选择此 ${\displaystyle m(x)}$ 为过 ${\displaystyle x=sD_{y}}$ 的切线函数，如下图所示：
${\displaystyle m(x)}$ 以斜直线代表，为点 $x=x_{0}±sD_{y}$ 处的切线，当 ${\displaystyle sD_{y}}$ 越小，涵盖的范围越大
若为有限积分区间，我们可以看出，只要 $M$ 够大，这切线的斜率就会趋近于0 ，因此，不管 $f(x)$ 在其余部分是否连续，它们总会在这切线以下，并且很容易证明(后面会证) ${\displaystyle e^{Mm(x)}}$ 的积分当 $M$ 很大时，就会趋近于0。
然而，若积分范围是无限大的话，那么，${\displaystyle m(x)}$ 就有可能总是与 $f(x)$ 有相交，若有相交，则表示无法保证 ${\displaystyle e^{Mf(x)}}$ 的积分最后会趋近于0。比方 ${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$ 的情形下，不管 $M$ 为多少，它的 ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{Mf(x)}dx}$ 总是会发散。所以，对于积分范围为无限大的情形，还得要求 ${\displaystyle \int _{d}^{\infty }e^{Mf(x)}dx}$ 会收敛才行，那么，只要 $d$ 越来越大，该积分就会趋近于0。而这 $d$ 可选为${\displaystyle m(x)}$ 与 $f(x)$ 相交之处即可，即保证所有余下的部分的积分会趋近于0。
也许您会问说，为何不是要求 ${\displaystyle \int _{d}^{\infty }e^{f(x)}dx}$ 会收敛？举个例子，若 $f(x)$ 在余下区域内为 ${\displaystyle -\ln x}$ ，则 ${\displaystyle e^{f(x)}={\frac {1}{x}}}$ ，积分会发散，然而，当 ${\displaystyle M=2}$ ， ${\displaystyle e^{Mf(x)}={\frac {1}{x^{2}}}}$ 的积分却是收敛的。所以，有的函数在 $M$ 小的时候会发散，然而，当 $M$ 够大时却会是收敛的。
此方法的正式表述与证明：
假设 $f(x)$ 是一个在 ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ 这点满足 (1) ${\displaystyle f(x_{0})=\max _{[a,b]}f(x)}$ ，(2)唯一全域最大，(3) $x_{0}$ 附近为二阶可微且 ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$，(4) 当拉普拉斯方法的积分范围为无限大时，此积分会收敛，
则，
$$\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{\left(e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}\right)}}\right)=1$$
证明
下限 ：
在 ${\displaystyle f''}$ 要求连续的条件底下，给定任意大于0的$\varepsilon $ 就能找到一个 $\delta >0$ 使得在 ${\displaystyle |x_{0}-x|<\delta }$ 这区间内所有的 $f''(x)\geq f''(x_{0})-\varepsilon$ 。 由 泰勒展开 我们可以得知，在 ${\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )}$ 区间内， ${\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})+{\frac {1}{2}}(f''(x_{0})-\varepsilon )(x-x_{0})^{2}}$ 。
这样，我们就得到本方法的积分下限了：
$$\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx\geq \int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{nf(x)}\,dx\geq e^{nf(x_{0})}\int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{{\frac {n}{2}}(f''(x_{0})-\varepsilon )(x-x_{0})^{2}}\,dx=e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {1}{n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}\int _{-\delta {\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}^{\delta {\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy$$
其中最后一个等号来自于变数变换： ${\displaystyle y={\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}(x-x_{0})}$ 。请记得 ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$ ，所以我们才会对它的负号取开根号。
接着让我们对上面的不等式两边同除以 ${\displaystyle e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}$ 并且对 $n$取极限，则
$$\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{\left(e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}\right)}}\right)\geq \lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\delta {\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}^{\delta {\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy{\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{-f''(x_{0})+\varepsilon }}}={\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{-f''(x_{0})+\varepsilon }}}$$
既然上式是对任意大于0的 $\varepsilon $ 都对，所以我们得到：
$$\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{\left(e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}\right)}}\right)\geq 1$$
请注意，上面的证明也适用于 ${\displaystyle a=-\infty }$ 或 ${\displaystyle b=\infty }$ 或双双跑到正负无限大的情况
上限 ：
证明上限的部分其实和证明下限的部分很像，但是会较麻烦。再一次，我们取$\varepsilon >0$ ，不过，不再是任意而是多了一个要求 $\varepsilon $ 得够小以致于 ${\displaystyle f''(x_{0})+\varepsilon <0}$ 。接着，就如同之前的证明，因着 ${\displaystyle f''}$ 被要求连续，并且根据 泰勒定理 我们会发现总存在一个 $ \delta>0 $ 以至于在 ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$ 区间里， ${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})+{\frac {1}{2}}(f''(x_{0})+\varepsilon )(x-x_{0})^{2}}$ 总是可以成立。 最后，在我们的假设里 (假设 ${\displaystyle a,b}$ 都是有限值) ，由于 $x_{0}$ 是全域最大所在处，我们总可以找到一个 ${\displaystyle \eta >0}$ 使得所有在 ${\displaystyle |x-x_{0}|\geq \delta }$ 这区间里， ${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})-\eta }$ 总是成立。
现在，万事俱备，东风就在下面啦：
$$\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx\leq \int _{a}^{x_{0}-\delta }e^{nf(x)}\,dx+\int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{nf(x)}\,dx+\int _{x_{0}+\delta }^{b}e^{nf(x)}\,dx\leq (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}+\int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{nf(x)}\,dx$$
$$\leq (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}+e^{nf(x_{0})}\int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{{\frac {n}{2}}(f''(x_{0})+\varepsilon )(x-x_{0})^{2}}\,dx\leq (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}+e^{nf(x_{0})}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{{\frac {n}{2}}(f''(x_{0})+\varepsilon )(x-x_{0})^{2}}\,dx$$
$$\leq (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}+e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0})-\varepsilon )}}}$$
如果我们对上面的不等式两边皆除以 ${\displaystyle e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}$ 并且顺便取极限的话，会得到：
$$\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{\left(e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}\right)}}\right)\leq \lim _{n\to +\infty }\left((b-a)e^{-\eta n}{\sqrt {\frac {n(-f''(x_{0}))}{2\pi }}}+{\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{-f''(x_{0})-\varepsilon }}}\right)={\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{-f''(x_{0})-\varepsilon }}}$$
再一次，因为 $\varepsilon $ 可以取任意大于0的值，所以我们得到了上限了：
$$\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{\left(e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}\right)}}\right)\leq 1$$
把上限与下限两个证明同时考虑，整个证明就完成了。
注意，关于上限的证明，很明显的当我们把它应用在 $a$ 或 $b$ 为正负无限大时，该上限证明会失败。那怎么办呢？我们需要再多假设一些东西。一个充分但非必要的假设是：当 ${\displaystyle n=1}$ 时，此积分 ${\displaystyle \int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}$ 为有限值，并且上面所说的 $ \eta $ 是存在的 (注意，当 ${\displaystyle [a,b]}$ 区间是无限的时候，这假设是必要的) 。整个证明过程就如同先前所显示的那样，只不过下列的积分部分要做点改变：
$$\int _{a}^{x_{0}-\delta }e^{nf(x)}\,dx+\int _{x_{0}+\delta }^{b}e^{nf(x)}\,dx$$
必须利用上述的假设，而改为：
$$\int _{a}^{x_{0}-\delta }e^{nf(x)}\,dx+\int _{x_{0}+\delta }^{b}e^{nf(x)}\,dx\leq \int _{a}^{b}e^{f(x)}e^{(n-1)(f(x_{0})-\eta )}\,dx=e^{(n-1)(f(x_{0})-\eta )}\int _{a}^{b}e^{f(x)}\,dx$$
以取代先前会得到的 ${\displaystyle (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}}$ ，这样的话，当我们除以 ${\displaystyle e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}$ ，就会改得到如下的结果：
$${\frac {e^{(n-1)(f(x_{0})-\eta )}\int _{a}^{b}e^{f(x)}\,dx}{e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}}=e^{-(n-1)\eta }{\sqrt {n}}e^{-f(x_{0})}\int _{a}^{b}e^{f(x)}\,dx{\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{2\pi }}}$$
这样的话，当我们取 ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ 时，上式的值就会趋近于 $0$ 。而剩下的部分的证明就还是如同原先的证明，不做改变。
再强调一次，这里我们多加给无限大积分范围的情形的条件，是充分，但非必要。不过，这样的条件已经可以适用在许多情形了(但非全部)。 这考虑条件简单来讲就是积分区间得是被良好定义的(即不能是无限大的)，并且被积函数在 $x_0$ 必须是真的极大 (意即 ${\displaystyle \eta >0}$ 必须真的存在) ；如果这积分区间是无限大的话，要求 $n=1$ 时的此拉普拉斯方法所用的积分值要为有限并非必要的，其实只要当 $n$ 大于某数时，此积分值会是有限的即可。 |
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