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本帖最后由 realnumber 于 2013-11-19 07:46 编辑 回复 5# realnumber
证明出来了，假定面积取到最大值，$β+α=2α_0$,$β,α$为锐角，不妨记$β=α_0+x,α=α_0-x,x\ge0,β'_x=1,α'_x=-1$
记$f(x)=\cos{β}\sqrt{r^2-m^2\sin^2{α}}+\cos{α}\sqrt{r^2-m^2\sin^2{β}}$,只需要证明x=0取最大，即可证明面积最大时，x=0.
则
\[f_x'(x)=-\sin{β}\sqrt{r^2-m^2\sin^2{α}}+\frac{\cos{β}(-2m^2\sin{α}\cos{α})(-1)}{2\sqrt{r^2-m^2\sin^2{α}}}+\sin{α}\sqrt{r^2-m^2\sin^2{β}}
-\frac{\cos{α}(2m^2\sin{β}\cos{β})}{2\sqrt{r^2-m^2\sin^2{β}}}\]
\[-\sin{β}\sqrt{r^2-m^2\sin^2{α}}+\sin{α}\sqrt{r^2-m^2\sin^2{β}}\le0 \iff α\le β\]
\[\frac{\cos{β}(-2m^2\sin{α}\cos{α})(-1)}{2\sqrt{r^2-m^2\sin^2{α}}}-\frac{\cos{α}(2m^2\sin{β}\cos{β})}{2\sqrt{r^2-m^2\sin^2{β}}}\le 0\iff α\le β \]
所以$f_x'(x)\le 0$,即$f(x)$只能在x=0,即$β=α$取到最大值.
换句话说就是任意给定$β+α$,那么$f(x)$总在$β=α$时，最大.
此时
\[S_{DFGC}=S_{ΔCGB}-S_{ΔDFB}=f(α)=4m^2\sin{α}(1-\sin^2{α})\sqrt{\frac{r^2}{m^2}-\sin^2{α}}\]
\[\frac{x^2yS^2_{DFGC}}{16m^4}=\sin^2{α}(x-x\sin^2{α})(x-x\sin^2{α})(\frac{yr^2}{m^2}-y\sin^2{α})\le(\frac{2x+\frac{yr^2}{m^2}}{4})^4\]
当且仅当$\sin^2{α}=x-x\sin^2{α}=\frac{yr^2}{m^2}-y\sin^2{α},2x+y=1$取等号，解得$\frac{x(2-2x)}{(x+1)(1-2x)}=\frac{r^2}{m^2}$
--其实还是应该说明为什么圆心在两直线之间的，看起来应该不会太难.
又导数部分可以这样替换，也许会简单点,先证明
\[\cos{β}\sqrt{r^2-m^2\sin^2{α}}+\cos{α}\sqrt{r^2-m^2\sin^2{β}}\le 2\cos{α_0}\sqrt{r^2-m^2\sin^2{α_0}}\] |
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kuing
发表于 2013-11-18 00:04
好复杂的样子，等有心情再看……