延拓 Lipschitz 函数至全空间

Czhang271828

$X$ 为度量空间, $S$ 为 $X$ 的子集, 函数 $f:S\to \mathbb R$ 的 Lipschitz 常数为 $L$. 则存在一种延拓 $\tilde f:X\to \mathbb R$ 使得 $\tilde f|_S\equiv f$, 而 $\tilde f$ 的 Lipschitz 常数亦为 $L$.

答案:

当 $Y=\mathbb R$ 时, 可选 $\tilde f(x):=\inf_{s\in S}\{f(s)+K \cdot d_X(s,x)\}$.