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原文作者为孟培坤(百度贴吧ID为qianxiangzhen3)(QQ空间)
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定义 1 (线向) 、普通平面记为 $\pi, \pi$ 中的平行直线不相交; 对 $\pi$ 中直线 $l$, $l$ 的线向 $[l]$ 是与直线 $l$ 平行的所有直线构成的集合
定义 2 (射影平面) 、线向视为点, $l_{\infty}$ 是所有线向的集合, 射影平面 $P(\pi)$ 定义为 $\pi$ 和 $l_{\infty}$ 的并, $P(\pi)$ 上的线包含两类, 一类是 $l_{\infty}$, 一类是 $l \cup[l]$, 其中 $l$ 是 $\pi$ 上的直线
注: 今后凡提到“直线”, 都指 $\pi$ 上的直线; 凡提到“线”, 都指 $P(\pi)$ 上的线
注: 任意两条线交于一点, 无论它们在 $\pi$ 上平行与否, 或者其中之一是 $l_{\infty}$; 相同的, 过任意两点存在唯一的线, 无论它们都是 $\pi$ 上的点, 还是至少其一为线向
注: $P(\pi)$ 上三线共点, 就表明 $\pi$ 上三直线共点或者平行
注: 这段定义的通俗解释, 就是认为平行线交于无穷远点, 而所有的无穷远点在同一条线上, 称为无穷远线; 今后两种说法将同时使用, 在非定理推导的部分倾向于使用通俗解释
 定义 3 (中心投影) 、设 $\pi, \pi'$ 是两个平面, $O$ 是不在两个平面上的任意一点, 定义变换 $\varphi: \pi \rightarrow \pi', A$ 点的像是 $A'$, 如果 $O A A'$ 共线
注: 一条直线的像, 是指直线上每个点在变换下像构成的集合
容易发现, 当 $\pi 、 \pi'$ 平行时 $\varphi$ 是 $\pi \rightarrow \pi'$ 的双射, 其效果类似于位似变换, 当$\pi 、 \pi'$ 不平行时, $\pi$ 上恰有一条直线 $l$ 没有像, $\pi'$ 上也恰有一条直线 $l'$ 没有原像; 而扩充 $\pi$、$\pi'$ 为射影平面 $P(\pi)$、$P\left(\pi'\right)$ 时, $\varphi$ 是 $P(\pi) \rightarrow P\left(\pi'\right)$ 的双射, 换句话说:
定理1、设 $\pi, \pi'$ 是两个平面, $O$ 是不在两个平面上的任意一点, 则中心投影 $\varphi: \pi \rightarrow \pi'$ 可以唯一的延拓为 $\bar{\varphi}: P(\pi) \rightarrow P\left(\pi'\right)$, 使得 $\bar{\varphi}$ 是双射, 且线被映为线 (证明从略)
定义 4 (射影变换) 、射影平面 $P(\pi) 、 P\left(\pi'\right)$ 之间的一个变换 $\varphi$ 称为是射影映射, 如果 $\varphi$ 是双射, 且线被映为线; 当 $\pi=\pi '$ 时, 称 $\varphi$ 是射影变换
推论、射影变换的逆、射影变换的复合都是射影变换
注: 点在线上、线在点上这样不涉及度量的性质称为结合关系, 射影变换就是保持结合关系不变的变换
 定义5 (线把模型) 、给定射影平面 $P(\pi)$ 和不在平面上一点 $O$, 将 $P(\pi)$ 上点 $A$ 映为空间中直线 $O A$, 这给出 $P(\pi)$ 中的点到空间中通过的直线的双射; 线把模型下线向映为过 $O$ 平行于 $P(\pi)$ 的一条直线, $l_{\infty}$ 映为过 $O$ 平行于 $P(\pi)$ 的平面; $P(\pi)$ 上的线映为该线与 $O$ 确定的平面
注: 线把模型是射影平面的一种表述, 其优势是去除了 $l_{\infty}$ 的特殊性, 表明 $P(\pi)$ 中的任意两条线没有区别
定理2(对偶原理)、任意关于点线结合关系的命题, 将点线互换仍然成立证明: 只需要给出射影平面上保持结合关系但是点线互换的对应, 利用线把模型可以给出如下对应, 容易验证它满足要求:
$P(\pi)$ 中的点 $A \rightarrow$ 线把模型中的直线 $OA \rightarrow$ 线把模型中垂直 $OA$ 的平面 $\pi' \rightarrow \pi'$ 与 $P(\pi)$ 的交线
 定理3 (Desargues定理)、$\triangle A B C, \triangle A' B' C'$ 对应顶点连线共点 $S$, 则对应边 (所在线) 的交点 $P Q R$ 共线 (证明见后文)
定理 3 的对偶命题就是定理 3 的逆命题, 也就是定理3本身
定理4 (Pappus定理)、$A B C 、 A' B' C'$ 分别共线, 则六边形 $A B' C A'B C'$ 对边交点 $P Q R$ 共线（证明见后文）
定理4的对偶命题是如下命题:
定理5、六边形 $A B C D E F$ 中 $A B$、$C F$、$D E$ 共点, $A F$、$B E$、$C D$ 共点, 则 $A D$、$B C$、$E F$ 共点
或许如下版本的叙述更有吸引力:
定理5'、两个三角形 $\triangle A C E 、 \triangle B D F$ 有两种方法看成透视, 则还有第三种方法看成透视
定义6 (交比)
（1）$\pi$上共线点 $ABCD$ 的交比定义为 $[AB ; CD]=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{CB}}{\Large /} \frac{\overrightarrow{AD} }{\overrightarrow{DB}}$, 这是仿射不变量
（2）线把模型上四直线 $klmn$ 的方向记为 $a b c d$, 假设 $c=s a+t b, d=s' a+t' b$（$abcd$ 是向量, $sts't'$ 是实数）, 则定义交比 $[kl ; mn]=\frac{s' t}{st'}$
（3）$P(\pi)$ 上四点的交比, 定义为线把模型中对应四直线的交比
注:（2）是良定的, 不难验证用 $xa$ 代替 $a$（$x$ 是非 0 实数）, 交比不会改变
注: 利用向量的定比分点公式可以验证（1）（3）给出的交比定义是相容的
注: 线把模型中四面的交比, 定义为它们法向量的交比, 由此得到 $P(\pi)$ 上四线的交比，与（2）也是相容的
对于线把模型中的直线束, 空间仿射变换（具有不动点 $O$）不改变其交比, 而 $P(\pi)$ 上的射影变换等价于线把模型中的仿射变换, 故:
定理6、交比是射影不变量
定理7 (交比的基本性质)、$ABCD$ 是 $P(\pi)$ 上共线四点, 则:
(1) $[BA ; CD]=[AB ; DC]=[AB ; CD]^{-1}$
(2) $[AC ; BD]=1-[AB ; CD]$
(3) $[CD ; AB]=[AB ; CD]$
注: 由此知 $ABCD$ 至多能够产生 $6$ 个不同的交比, 是 $c, 1-c, \frac{1}{c}, \frac{1}{1-c}, 1-\frac{1}{c},-\frac{c}{1-c}$
注: 对于线束 $klmn$, 用 $\theta_{m n}$ 表示 $m$ 逆时针转到 $n$ 所转过的角度, 则有表达式 $[kl ; mn]=\frac{\sin \theta_{km}}{\sin \theta_{ml}} / \frac{\sin \theta_{kn}}{\sin \theta_{nl}}$, 交比只与夹角有关
定义 7、交比为 $-1$ 的 $ABCD$ 称为调和点列, 若 $[AB ; CD]=-1$, 则称 $CD$ 调和分割 $AB$; 交比为 $-1$ 的线束称为调和线束
关于调和点列与调和线束, 在后面将进行专门的论述
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