连续性的标准定义

Czhang271828

数学分析教会我们如何用极限刻画函数连续性. 在学了一点拓扑后, 我们有时采用 "开集定义" 来判断函数的连续性. 数学分析课上应该会讲这道基础的证明题:

取拓扑空间间的映射 $f:X\to Y$, 则以下三项表述等价:

• $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的连续映射.
• $Y$ 中一切开集关于 $f$ 的原像均为 $X$ 中开集.
• 取 $X$ 中任意收敛序列 $\{x_n\}_{n\geq 1}$, 则 $\{f(x_n)\}_{n\geq 1}$ 在 $Y$ 中收敛.
  

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读者会在尝试后发现 3 推 2 无从下手 (其实笔者悄悄地将 "$X$ 与 $Y$ 为欧式空间" 之限定扩大作拓扑空间了): 其实此题中的 2 与 3 在一般的拓扑空间中根本不等价!

当然, 没有一本教材记载了这个错误结论. 应当注意: 大部分面向零基础读者的拓扑学书籍会避免谈及 "序列" 之概念! 除非涉及欧式空间的拓扑, 拓扑学教材里 "序列" 一词都会莫明其妙地失踪. 笔者身边不少人受数学分析学科的影响, 总是把一些涉及序列的结论自然迁移到一般的拓扑空间中. 私认为许多教材未能强调应有的 "忠告".

细想之下, 将 2 与 3 分别对应作 "连续" 与 "列连续" 不无合理之处, "连续与列连续" 之有别正如 "紧与列紧" "完备与序列完备" "弱拓扑与弱*拓扑" "主理想滤子空间 (自然等同于原空间) 与超滤子空间" "(最好是 non-reflexible 的) Banach空间与二次对偶空间" 之有别.

当然, 本文的重点是例证 3 无法推出 2. 我们将完成以下四个步骤

• 在不可数集 $X$ 中任意取定 $x_0$, 定义离散拓扑 $\eta:=2^{X\setminus \{x_0\}}$. 定义 $X$ 中拓扑 $\tau:=\color{red}{\eta}\cup\{A\cup\{x_0\}\mid A\in\eta,|X\setminus A|\text{至多可数}\}$.
• 如上定义的拓扑 $(X,\tau)$ 与 离散拓扑 $(X,2^X)$ 拥有等价的收敛序列.
• 恒等映射 $i:(X,\tau)\to (X,2^X)$ 不连续, 但序列连续.
  

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证明: (1) 只需验证 $(X,\tau)$ 为拓扑空间. (以下记 $\leq |\mathbb N|$ 为至多可数.) 注意到

• $\emptyset$ 与 $X$ 均属于 $\tau$.
• 任意有限集族 $\{U_i\}_{i=1}^N\subset \tau $ 中但凡一者不含 $x_0$, 则 $\cap U_i\in \eta\subset \tau$; 若有限集族 $\{U_i\}_{i=1}^N\subset \tau$ 中每一元素均含有 $x_0$, 则 $|X\setminus(\cap U_i)|=|\cup(X\setminus U_i)|\leq\sum |X\setminus U_i|\leq |\mathbb N|$.
• 任意集族 $\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset \tau$, 若一切 $U_\lambda$ 均不包含 $x_0$, 则 $\cup U_\lambda\in \eta\subset \tau$; 若某一 $U_{\lambda_0}$ 包含 $x_0$, 则 $|X\setminus (\cup U_\lambda)|=|\cap (X\setminus U_\lambda)|\leq |X\setminus U_{\lambda_0}|\leq |\mathbb N|$.
  

从而 $(X,\tau)$ 为良定义的拓扑空间.

(2) 称序列 $\{x_n\}_{n\geq 1}$ 在拓扑 $\tau'$ 下收敛至 $x_0$, 若且仅若不含 $x_0$ 的闭集包含 $\{x_n\}_{n\geq 1}$ 中有限项目, 记作  $x_n\overset{\tau'}\to x_0$. 换言之, 任意包含 $x_0$ 的开集中包含 $\{x_n\}_{n\geq 1}$ 中除有限项外的所有项. 显然 $(X,2^X)$ 中的收敛序列一定在某一项某恒同, 从而一定为 $(X,\tau)$ 的收敛序列. 另一方面, $(X,\tau)$ 中子空间 $(X\setminus \{x_0\})$ 继承的拓扑为离散拓扑, 从而

• 若 $(X,\tau)$ 中收敛序列有无穷项落在 $X\setminus \{x_0\}$ 内, 则该序列从某项开始恒同于 $X\setminus \{x_0\}$ 中的某一元素.
• 若 $(X,\tau)$ 中收敛序列仅有有穷项落在 $X\setminus \{x_0\}$ 内, 则该序列收敛至 $x_0$, 且在某一项后恒同于 $x_0$.
  

至此, 我们证明了 $(X,\tau)$ 与 $(X,2^X)$ 中的收敛序列等价.

(3) 恒同映射 $i:(X,\tau)\to (X,2^X)$ 不连续, 因为 $(X,2^X)$ 中的开集未必是 $(X,\tau)$ 中的开集; 但 $(X,\tau)$ 与 $(X,2^X)$ 拥有相同的收敛序列, 从而收敛序列在 $i$ 下仍为收敛序列.

是以证明"连续"与"列连续"之不等价性.

注: 熟悉滤子 (filter) 或网收敛 (net convergence) 的读者应该对此例不陌生. 序列的局限性无非是只能描述偏序结构中至多可数的子序, 滤子/网 无非刻画了 "不可数的序列".

hbghlyj

topology lect notes 2017
Remark 1.19. Unlike in the case of metric spaces, the converse of the statement in Proposition 1.18
might not be true.
Loose Remark. We shall see many implications of the following form:

topological property ⇒ property in terms of sequences.

In metric spaces the converse implication may sometime be true (i.e. the topological property may be characterized in terms of sequences).
In the general topological setting the converse implication is never true.

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2022-12-14 22:59
topology lect notes 2017
Remark 1.19. Unlike in the case of metric spaces, the converse of the state ...

用偏序关系 (滤子等) 描述所谓极限是常规操作. 若是对一般的空间做分析, 个人倾向非标准分析 (non-standard analysis) 方法.

hbghlyj

Topology by James Munkres page 188 Ch. 3 Connectedness and Compactness
7. Theorem. Let $f: X \rightarrow Y$. Then $f$ is continuous if and only if for every convergent net $\left(x_\alpha\right)$ in $X$, converging to $x$, say, the net $\left(f\left(x_\alpha\right)\right)$ converges to $f(x)$.
$f$ brings convergent nets to convergent nets, is it continuous?

hbghlyj

链接1的15:38给了sequential converge但不converge的例子(这个例子是前面session链接2曾提到的, 这个图比较难画, 我就不抄写了), 并且最后给了net convergence的证明, 我抄写到下面了.

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Wayback machine
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Wayback防挂链接2
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重试:
Save Page Now错误信息: Worker exited prematurely: exitcode 15 Job: 447.
这次成功保存了

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hbghlyj 发表于 2022-12-19 01:10
7. Theorem. Let $f: X \rightarrow Y$. Then $f$ is continuous if and only if for every convergent net $\left(x_\alpha\right)$ in $X$, converging to $x$, say, the net $\left(f\left(x_\alpha\right)\right)$ converges to $f(x)$.

Let $U \subset Y$ be open, want to show $f^{- 1} (U)$ is open.

We'll check that $\forall x \in f^{- 1} (U)$, the set $f^{- 1} (U)$ is a neighborhood of $x$.

Let $I$ be the directed set whose elements are pairs $(W, y)$, where $W$ is an open neighborhood of $x$, and $y \in W$. Define $(W, y) \leqslant (W', y')$ if $W' \subset W$.

The net $\alpha : I \rightarrow X, (W, y) \mapsto y$ converges to $x$. By assumption, the net $\star : I \rightarrow X, (W, y) \mapsto f (y)$ converges to $f (y)$.

Now consider $U \ni f (x)$. By definition of convergence of $\star$, $\exists
(W, y) \in I$ such that $\forall (W', y') \geqslant (W, y) : f (y) \in U$.

By definition of partial order on $I$, this means $\forall W' \subset W : f
(y) \in U$.

Ok, so I have the freedom to pick any subset of $W$ to be $W'$. Let's take $W'
= W$.

And I still have the freedom to pick any $y'$. Let's rewrite this: $\forall y'
\in W' = W : f (y) \in U$.

I may as well say $f (W) \subset U$, which I may translate as $W \subset f^{-
1} (U)$.

I have shown that $\forall x \in f^{- 1} (U)$, the set $f^{- 1} (U)$ is a neighborhood of $x$, because we found open $W \subset f^{- 1} (U)$.

hbghlyj

English Wikipedia page "Limit of a sequence"

In fact, any real-valued function f is continuous if and only if it preserves the limits of sequences (though this is not necessarily true when using more general notions of continuity).

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2022-12-19 00:23
Wayback防挂

此旧帖子中包含的 cloudfront 链接仍未过期！我开始相信 URL 中的 session 是持久的🤔