contour integral

hbghlyj

这帖$$\int_0^{2\pi}\frac{\cos\theta}{1-2a\cos\theta+a^2}\mathrm{d\theta}$$原回答的计算有误:
\[I=\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos{\theta}}{1-2a\cos{\theta}+a^{2}}d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{1-ae^{i\theta}-ae^{-i\theta}+a^{2}}d\theta\]
换元$e^{i\theta}=z$之后变成
\[I=\frac{1}{2i}\oint_{|z|=1}\frac{1+z^{2}}{z(z-a)(z-1/a)}dz\]
这个式子和上面差一个因式呢. 他算的$a>1$时积分是$\frac{2\pi}{1-a^{2}}$

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见WolfreeAlpha

1. integrate[cos(t)/(1-2a*cos(t)+a^2),{t,0,2pi},assumptions->a>1]

复制代码

当$a>1$时,答案是$$-\frac{2 π}{a - a^3}$$

hbghlyj

本题是在这帖取$b=1$.
这帖的回答还有其它的方法呢.

Czhang271828

目测一下 (以下内容几乎不含计算)
$$
\int_{0}^{2\pi}\dfrac{\cos n\theta}{1-2a\cos\theta+a^2}\mathrm d\theta.
$$

Solution. 单位闭圆盘 $\overline {\mathbb D}$ 上的调和函数 $u(x)$ 满足 Poission 积分公式, i.e.,
$$
u(re^{i\theta_0})=\dfrac{1}{2\pi}\int_{[-\pi,\pi)}\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-\theta_0)+r^2}\cdot u(e^{i\theta})\mathrm d\theta.
$$
其中 $r\in[0,1)$.

今取 $\theta_0=0$, $u(e^{i\theta})=\cos n\theta$. 而根据调和函数极大模原理, 在 $\overline{ \mathbb D}$ 上定义的调和函数可由 $\partial \mathbb D$ 上取值唯一确定, 口算知 (Laplace 算子即 $4\partial_z\partial_{\overline z}$) 该调和函数就是 $u(z)=\dfrac{z^n+\overline z^n}{2}$.  那么
$$
\dfrac{1}{2\pi}\int_{[-\pi,\pi)}\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2}\cdot\cos n\theta\mathrm d\theta=u(r)=r^n.
$$
因此, 当 $a<1$ 时, 置 $a=r$ 得
$$
\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos\theta}{1-2a\cos\theta+a^2}\mathrm d\theta=\dfrac{2\pi u(a)}{1-a^2}=\dfrac{2\pi a^n}{1-a^2}.
$$
当 $a>1$ 时, 置 $a=r^{-1}$ 得
$$
\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos\theta}{1-2a^{-1}\cos\theta+a^{-2}}\mathrm d\theta=\dfrac{2\pi u(a^{-1})}{1-a^{-2}}=\dfrac{2\pi a^{-n}}{1-a^{-2}}.
$$
从而
$$
\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos\theta}{a^2-2a\cos\theta+1}\mathrm d\theta=\dfrac{2\pi a^{-n}}{a^2-1}.
$$