PDF | HTML
$\newcommand{\longcuv}[1]{\stackrel{\frown}{#1}}
\newcommand{\longvec}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}
\newcommand{\Abs}[1]{\left\lvert #2 \right\rvert}
$
William Stukeley(1687$\sim$1765)是牛頓 (1643$\sim$1727) 的朋友, 也是牛頓生平回憶錄(Memoirs of Sir Isaac Newton's Life)的作者。
Stukeley在書中記錄了一段牛頓 1726/4/15 的談話：
晚餐後天氣漸暖, 我們兩人到園中坐在蘋果樹下喝茶。
談話中, 牛頓告訴我當年他會想到萬有引力的情景正如當下
。
那天他坐在樹下沉思, 剛巧看到蘋果落下。他想, 為什麼蘋果落下是垂直地面？
為什麼脫開的方向不會偏離地心或是向上, 而是直指地心？
顯然, 理由是地球吸引蘋果而下。這一定是物質具有引力,
而地球各部分物質所具引力之總和是指向地心, 絕不會偏離, 所以導致蘋果垂直落向地心。如果物質可以吸引物質, 引力必定與他們的質量成正比,
因此正如地球吸引蘋果, 蘋果必定也吸引地球。這就是我們現在稱之為引力者, 充填宇宙, 無所不在
。
Stukeley 所描述的正是萬有引力概念的發端, 但是在量化的過程中, 牛頓碰到兩個問題, 第一, 此一引力是否與距離的平方成反比？
第二, 地球對蘋果的吸引力是否可以視為將質量完全集中於球心？
從克卜勒的三大行星律, 牛頓成功的回答了第一個問題
。
關於第二個問題, 牛頓在第一個問題討論星體之間的引力時, 均將星體視為質點。
當星體之間距離很大, 此一看法尚稱允當, 但當審視地球對蘋果的吸引力時, 如果無法將地球的質量看成集中於地心, 一方面無法將地表
9.8 公尺/秒$^2$ 的向心加速度和月球繞地球的向心加速度比較, 另一方面, 將星體或月球視為質點終究是一個近似而非準確的理論。
不過牛頓還是證明了第二個問題的正確性, 這就是《原理》第一卷第 12 章的命題 71, 由於命題 71 討論均質球面對外的吸引力因此又稱殼定理
(Shell Theorem), 其內容如下
：
「如果均質球殼外的小球 P 受到球殼上每一點的吸引力均反比於小球 P 到這些點距離的平方, 則小球 P 受到球殼的總吸引力會反比於它到球心距離的平方。」
牛頓接著在《原理》的第三卷命題 8 寫道：
「我在發現指向整個行星的引力由指向其各部分的引力複合而成, 而且指向其各部分的引力反比於到該部分距離的平方之後, 仍不能肯定,
在合力是由如此之多的分力組成的情況下, 究竟距離的平方反比關係是精確成立, 還是近似如此, 因為這在較大距離上足以精確成立的比例關係,
可能在行星表面附近時會失效, 在該處粒子間距離是不相等的, 而且位置也不相似。」
所以說, 第一卷的命題 71 是整個萬有引力的關鍵, 如果沒有這個定理, 那在計算蘋果受地球的吸引力時, 就不能將蘋果至地球的距離視為地球半徑,
因為地球各處都給予蘋果與距離平方成反比的吸引力, 我們怎麼能確定這些「合力」是多少？
牛頓在《原理》書中對上述命題71的證明, 使用了極限和微積分的概念, 但是卻刻意迴避微分、積分的符號, 而改用大量的幾何論證。
並且, 牛頓在證明中, 動用了令人難懂的積分技巧, 連英國數學家李特伍德 (J. Littlewood, 1885$\sim$1977)
都說這個命題是：
「留給讀者無助的困惑。」數學史家克萊因 (M. Kline, 1908$\sim$1992)
也如此描述：
「雖然此書帶給牛頓極大名望, 但它卻非常難以了解。
牛頓曾告訴一位朋友, 他有意讓此書艱難, 以免受數學膚淺者的貶抑, 他毫無疑問希望藉此避免早期在光學論文上所受到的批判。」
1970年8月, 王其允和項武義在台北科學月刊發表「是蘋果還是開普勒啓發了牛頓？」, 文中對上述命題71提供了一個簡潔的證明。
後來項武義和張海潮在數學傳播(見註三)重現了這個證明, 但是不夠詳盡。
本文分做兩節, (一) 是把王、項的證明寫詳盡, (二) 是用微積分的符號再現王、項的證明。
(一)
我們的策略是要找出一個好方法把各處的吸引力統合起來, 既然各處的吸引力在原本的球殼上不好加總, 那我們就把它們放到另一個小籃子裡去加總, 這個小籃子,
其實是一個單位球殼, 如果我們把吸引力都轉移到這個小球殼上, 那就可以輕易得到我們要的結論了。
由於均勻球殼的對稱性, 其對球殼外質點的吸引力指向球心方向是顯而易見的。
對於半徑為 $R$ 之球殼來說, 其面積為 $4\pi R^2$, 假設球殼密度為 $\rho$, 則其質量為 $4\pi R^2\rho$, 所以我們必須證明的是, 球殼對球外一點 $P$ 之吸引力大小為
$$\frac{G(4\pi R^2\rho)m}{{\overline {OP}}^2}$$
其中, $G$ 為萬有引力常數, $m$ 為球殼外質點的質量, $O$ 為球殼中心, $P$ 為質點位置。
為了簡化證明, 我們設 $m=\rho=1$, 所以最後我們應該要得到此吸引力大小為
$$\frac{G(4\pi R^2)}{{\overline {OP}}^2}$$
如下圖, 我們先在 $\overline{OP}$ 上取一點 $P'$, 使得 $\overline{OP}\times \overline{OP'}=R^2$, $P'$ 稱為
$P$ 對圓的反射點, 如此一來, 對球殼上任一點 $Q$, 我們有 $\triangle OQP' \sim \triangle OPQ$。
若是令 $\angle OPQ=\alpha$, 則 $\angle OQP'=\angle OPQ=\alpha$。
接著, 取一極小段弧 $\longcuv {QQ'}$, 繞直線 $\overleftrightarrow {OP}$ 旋轉得一環帶, 令此環帶的半徑為 $h$,
即為圖中 $Q$ 到直線 $\overleftrightarrow {OP}$ 的距離。
則我們可以算出此環帶對 $P$ 點之吸引力大小為
$$\frac{G(2\pi h\longcuv {QQ'}\cos\alpha)}{{\overline {QP}}^2}$$
其中的 $2\pi h\longcuv {QQ'}$, 代表了 $\longcuv {QQ'}$ 繞出的環帶面積。
因為我們取的 $\longcuv {QQ'}$ 為極小段的弧, 它所繞出的環帶近似於長方形, 此長方形的長近似於環帶的周長 $2\pi h $,
寬則為 $\longcuv {QQ'}$, 所以面積近似於 $2\pi h\longcuv {QQ'}$。
然後, 我們以 $P'$ 為圓心, $\overline {P'Q}$ 為半徑畫弧, 交 $\overline {P'Q'}$ 於 $Q''$, 如下圖。
由此圖, 我們可以觀察出一些相互垂直的關係, 首先是：
$\longcuv {QQ'}$ 垂直於 $\overline {OQ}$ 及 $\longcuv {QQ''}$ 垂直於 $\overline {P'Q}$, 如此可以推得
$$\angle Q' Q Q''=\angle OQP'=\alpha$$
另外, 我們還可以觀察到 $\longcuv {QQ''}$ 垂直於 $\overline {P'Q''}$, 所以有以下的關係式：
$$\longcuv {QQ'}\cos\alpha =\longcuv {QQ''}$$
利用上式, 我們改寫環帶的吸引力大小
$$\frac{G(2\pi h\longcuv {QQ'}\cos\alpha)}{{\overline {QP}}^2}=\frac{G(2\pi h\longcuv {QQ''})}{{\overline {QP}}^2}$$
接著, 將式子同時乘以 ${\overline {OP}}^2$ 及除以 ${\overline {OP}}^2$
$$=\frac{G(2\pi h\longcuv {QQ''})}{{\overline {OP}}^2}\,\frac{{\overline {OP}}^2}{{\overline {QP}}^2}$$
再利用 $\triangle OQP' \sim \triangle OPQ$, 得到邊長的比例關係 $\dfrac{{\overline {OP}}}{{\overline {QP}}}=\dfrac{{\overline {OQ}}}{{\overline {QP'}}}$, 繼續改寫
\begin{eqnarray*}
&=&\frac{G(2\pi h\longcuv {QQ''})}{{\overline {OP}}^2}\,\frac{{\overline {OQ}}^2}{{\overline {QP'}}^2}\\
&=&\frac{G(2\pi h\longcuv {QQ''})}{{\overline {OP}}^2}\,\frac{R^2}{{\overline {QP'}}^2}\\
&=&\frac{G(2\pi R^2)}{{\overline {OP}}^2}\,\frac{h}{{\overline {QP'}}}\,\frac{\longcuv {QQ''}}{{\overline {QP'}}}\\
\end{eqnarray*}
到此, $\dfrac{1}{{\overline {OP}}^2}$ 已經出現, 接下來我們要處理的是 $\dfrac{h}{{\overline {QP'}}}$ 和 $\dfrac{\longcuv {QQ''}}{{\overline {QP'}}}$ 這兩項。
以 $P'$ 為球心, 作一單位球殼 (這就是我們的籃子), 交 $\overline{P'Q}$ 於 $q$, 交 $\overline{P'Q'}$ 於 $q'$, 如上圖。
並令 $h'=\overline{qH'}$ 為 $q$ 到直線 $\overleftrightarrow {OP}$ 的距離。
我們觀察出, 圖中的大球殼及小球殼之間有一些相似形的關係, 其中, 利用 $\triangle P'QH \sim \triangle P'qH'$, 由對應邊長成比例, 可以推得
$$\frac h{\overline{QP'}}=\frac{h'}{\overline{qP'}}=h'$$
另外還有, 扇形 $P'QQ''\sim \,$ 扇形 $P'qq'$, 所以其對應邊長也成比例, 推得
$$\frac {\longcuv {QQ''}}{\overline{QP'}}=\frac{\longcuv {qq'}}{\overline{qP'}}={\longcuv {qq'}}$$
利用上面兩式, 我們便可以把 $\dfrac h{\overline{QP'}}$ 和 $\dfrac {\longcuv {QQ''}}{\overline{QP'}}$ 這兩項換掉。
$$\frac{G(2\pi R^2)}{{\overline {OP}}^2}\,\frac{h}{{\overline {QP'}}}\,\frac{\longcuv {QQ''}}{{\overline {QP'}}}
=\frac{G(2\pi h'\longcuv {qq'}R^2)}{{\overline {OP}}^2}$$
至此, 大環帶對 $P$ 的吸引力
$$\frac{G(2\pi h\longcuv {QQ'}\cos\alpha)}{{\overline {QP}}^2}$$
已被我們轉換為與小環帶和 ${{\overline {OP}}^2}$ 有關的量
$$\frac{G(2\pi h'\longcuv {qq'}R^2)}{{\overline {OP}}^2}$$
注意到式中的 $2\pi h'\longcuv {qq'}$, 它其實代表了 $\longcuv {qq'}$ 繞出的小環帶面積。
我們的想法是把球殼 $O$
切成一條條的環帶, 並一對一且映成的對應到球殼 $P'$ 的環帶, 也就是說, 所有球殼 $O$ 的環帶, 會剛好對應到所有球殼 $P'$ 的環帶。
所以, 當我們加總的時候, 原本的關係式
$$\frac{G(2\pi h\longcuv {QQ'}\cos\alpha)}{{\overline {QP}}^2}=\frac{G(2\pi h'\longcuv {qq'}R^2)}{{\overline {OP}}^2}$$
對於所有大球殼及小球殼中相對應的環帶皆會成立, 即
$$\sum_{\hbox{
球殼} O}\frac{G(2\pi h\longcuv {QQ'}\cos\alpha)}{{\overline {QP}}^2}=\sum_{\hbox{
球殼} P'}\frac{G(2\pi h'\longcuv {qq'}R^2)}{{\overline {OP}}^2}$$
如此, 我們便將大球殼中每一條環帶對 $P$ 點的吸引力, 轉移到小球殼那邊去加總。
且因為單位球殼的面積為 $4\pi$, 所以會有
$$\sum_{\hbox{
球殼} P'}2\pi h'\longcuv {qq'}=4\pi$$
最後得到
$$\sum_{\hbox{
球殼} P'}\frac{G(2\pi h'\longcuv {qq'}R^2)}{{\overline {OP}}^2}=\frac{G(4\pi R^2)}{{\overline {OP}}^2}$$
此即王其允和項武義對牛頓《原理》第一卷命題 71 的證明。
|
