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考题述评(甲)
證明存在常數 $C_1$ 和 $C_2$ 使得對所有的正整數 $N$, 恆有
\[
\left|\sum_{n=1}^N \frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{N}-C_1\right| \leq \frac{C_2 }{\sqrt{N}}
\]
看到此題的時候我偷了一點巧, 觀察到如果讓 $N$ 趨近無窮大, 右邊是 0 , 因此 $C_1$ 必須是 $\lim _{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{n=1}^N \frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{N}\right)$ 。所以至少先得證明這個極限存在。敎微積分的經驗告訴我應該看看與 $\sum_{n=1}^N \frac{1}{\sqrt{n}}$ 最“親近”的積分: 亦即 $\int_1^N \frac{1}{\sqrt{x}} d x=2 \sqrt{N}-2$, 並且拿它去和 $\sum_{n=1}^N \frac{1}{\sqrt{n}}$ 比較。引用一般敎材中, 討論 $\sum \frac{1}{n^p}$ 這類級數收歛成發散的時候所用的積分檢定法 (Integral Test), 先令
\[
r=\lim _{N \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{N-1}}+2-2 \sqrt{N}\right)
\]
此處當然要先證明括弧中的一般項是遞增並且有上界, 才能保證極限的存在。
因此整個問題的解答步驟如下:
(1) 利用類似寫出 Integral Test 的方法, 證明不等式
\[
0<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{N-1}}+2-2 \sqrt{N} \leq r
\]
和$$0<2 \sqrt{N}-2-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{N}}\right) \leq 1-r$$
(2) 將這兩個不等式結合爲
$$0 \leq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{N}}-2 \sqrt{N}+2-r \leq \frac{1}{\sqrt{N}}$$
(3) 令 $C_1 = r − 2, C_2 = 1$, 即可證出本題。 |
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