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考题述评(乙)
證明$$\left|\int_x^{x+1} \sin \left(e^t\right) d t\right| \leq \frac{2}{e^x}\tag2$$
我初看 (2) 式的時候, 著實呆了一陣, 因爲我從來不曾計算過 $\sin \left(e^t\right)$ 的積分。定下心來看了一 下, 覺得應該先換個變數, 把積分改成
\[
\int_{e^x}^{e^{x+1}} \frac{\sin y}{y} d y
\]
這還是很要命, 因爲我只知道 $\int_0^{\infty} \frac{\sin y}{y} d y=\frac{\pi}{2}$ 。至少過了一天, 我才決定試一試分部積分:\begin{aligned}
\int_{e^x}^{e^{x+1}} \frac{\sin y}{y} d y &=-\int_{e^x}^{e^{x+1}} \frac{d \cos y}{y} \\
&=-\left.\frac{\cos y}{y}\right|_{e^x} ^{e^{x+1}}-\int_{e^x}^{e^{x+1}} \frac{\cos y}{y^2} d y
\end{aligned}因爲 $|\cos y|,\left|\cos e^x\right|$, 和 $\left|\cos e^{x+1}\right|$ 都小於或等於 1 , 所以有\begin{aligned}
\left|\int_{e^x}^{e^{x+1}} \frac{\sin y}{y} d y\right| & \leq \frac{1}{e^x}+\frac{1}{e^{x+1}}+\int_{e^x}^{e^{x+1}} \frac{1}{y^2} d y \\
&=\frac{1}{e^x}+\frac{1}{e^{x+1}}+\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e^{x+1}} \\
&=\frac{2}{e^x}
\end{aligned}其實這題是 “Second Mean-Value Theorem for Integrals” 的應用。只是目前微積分課大概很少教這個定理。關於 Second Mean-Value Theorem for Integrals 請見 Apostol 微積分, 第一冊, 219 頁, 有關分部積分的討論。 |
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