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$g:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 是一个整函数。当且仅当 $g$ 是多项式时，0 处的泰勒展开式在 $\mathbb{C}$ 中一致收敛。
math.stackexchange.com/questions/1233846
$\boldsymbol{(\Longrightarrow)}$ 设 $T_k(z)=\sum_{n=0}^{k} b_n z^n$ 一致收敛到 $g$, 则对任意 $\varepsilon>0$ 存在 $N \in \mathbb{N}$ 使得对任意 $k\geq N$ 和 $z \in \mathbb{C}$
$$
|b_{k+1}z^{k+1}|=|T_{k+1}(z)-T_{k}(z)| < \varepsilon
$$
对充分大的 $|z|$, 必有 $b_{k+1}=0$ 对所有 $k \geq N$, 从而 $g$ 是 $≤N$ 次多项式. |
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