$f$是整函数且不是常数,则$|f(z)|$可以任意小

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/1713581
证:假设存在正数$R$使$|f(z)|≥R\ ∀z∈ℂ$, 则$|1/f(z)|≤1/R\ ∀z∈ℂ$, 即$1/f(z)$是有界的.由刘维尔定理,$1/f(z)$是常数,所以$f(z)$是常数.
注:例如$f(z)=e^{-z}$,可以看出$|f(z)|$可以任意小,即使$f$没有零点.

hbghlyj

对$f-a$使用上面的结论得$|f(z)-a|$可以任意小

Czhang271828

推论 整函数 $f$ 取值在 $\mathbb C$ 上稠密; 或 $f$ 为常值函数.

证明 若前者不然, 若存在 $B_\delta (z_0)$ 不在 $f(\mathbb C)$ 中, 则 $\dfrac{1}{f-z_0}$ 为有界整函数, 从而为常函数.

同理可以证明 $f$ 在本性奇点 (essential singularity) 附近取值于 $\mathbb C$ 上稠密. 另外可以推广到调和函数上 (Liouville 定理仍成立).

事实 (Picard) 整函数 $f$ 取遍 $\mathbb C$ 上几乎所有值, 至多略去一个值. 解析函数在本性奇点的任一去心邻域内将 $\mathbb C$ 中几乎所有值无穷次取遍, 最多略去一个值.