$(c_n)$有界,如何证明$∑c_nz^n/(1+z^n)$在$B(0,1)$解析?

hbghlyj

$c_n$是一个有界的复数列,证明\[
\sum_{n=1}^∞c_n \frac{z^n}{1+z^n}
\]在$|z|<1$解析.

abababa

设$f_n(z)=c_n\frac{z^n}{1+z^n}$，则当$\abs{z}<1$时$1+z^n\neq0$，所以$f_n$都解析。在$D=\{z\in\mathbb{C}:\abs{z}<1\}$的任意一个闭子集$F$中，设$\abs{z}\le r$，则$r<1$，于是$1-r\le1-r^n\le1-\abs{z}^n$，设$\abs{c_n}<c$，于是
\[
\abs{f_n}\le c\frac{\abs{z^n}}{\abs{1+z^n}}\le c\frac{\abs{z}^n}{1-\abs{z}^n}\le c\frac{r^n}{1-r}
\]

由于
\[\sum_{n=1}^{\infty}c\frac{r^n}{1-r}=c\cdot\frac{r}{(r-1)^2}\]

收敛，所以$\sum_{n=1}^{\infty}f_n$在$F$上一致收敛，即在$D$中内闭一致收敛，根据魏尔斯特拉斯定理可得级数收敛到的函数在$D$内解析。

hbghlyj

类似题:
math.stackexchange.com/questions/1039655
证明定义在$\Bbb C\setminus\Bbb N$上的函数$$f(z)=\sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{(r-z)^2}$$解析