$C[1,+∞)$中的分段线性函数稠密吗

hbghlyj

这帖证明了$C[a,b]$中的分段线性函数是稠密的.
如果换成非compact集, 如$C[1,+∞)$, 就不能推出uniform continuity了, 那么这样分段线性函数应该不是稠密的吧. 怎么证明呢

Czhang271828

稠密性是基于既定的拓扑空间而言的. 我们当然会想到用度量空间来导出拓扑空间, 但是 $C[1,\infty)$ 上的度量如何定义? 至少不能照搬 $C[a,b]$ 上的度量, 因为 $f_1(x)=\ln x$ 与 $f_2(x)=0$ 间的"距离"等于无穷, 从而则会个度量不是良定义的.

注: 如果这是一道题目, 那么按照个人经验, 应该漏掉了"紧支撑"的限定.