是否有$\overline{C_c^k(\Omega)}=C_0^k(\Omega)$？

abababa

设$\Omega$是$\mathbb{R}^n$中的非空开集，$C_c^k(\Omega)=C_c(\Omega)\cap C^k(\Omega), C_0^k(\Omega)=C_0(\Omega)\cap C^k(\Omega)$，是否有$\overline{C_c^k(\Omega)}=C_0^k(\Omega)$？其中$k$是正整数或$\infty$（即无穷次可导）。

下面是一些定义：
$C^k(\Omega)$表示定义在$\Omega$上的有连续$k$阶导数的全体函数。
$C_0(\Omega)$表示定义在$\Omega$上的在无穷远处消失的全体连续函数。
$C_c(\Omega)$表示定义在$\Omega$上的有紧支集的全体连续函数。
在无穷远处消失：设函数$f:\Omega\to\mathbb{R}$是连续函数，若对任意的$\varepsilon>0$都存在紧致集$K\subseteq\Omega$，使得只要$x\not\in K$就有$\abs{f(x)}<\varepsilon$，则称函数$f$在无穷远处消失。
支撑集：给定函数$f:\Omega\to\mathbb{R}$，则集合$\overline{\{x\in\Omega:f(x)\neq0\}}$称为函数$f$的支撑集。上划线表示集合的闭包。
紧支集：若函数$f$的支撑集是紧致集，则称$f$是有紧支集的函数。

已知的结论：
$\overline{C_c(\Omega)}=C_0(\Omega)$。
在无穷范数（上确界范数）下，$C^k[a,b]$不完备，其中$k\ge1$。

abababa

是和索伯列夫空间有关，但在我看来，还不完全一样。索伯列夫空间里可能是需要证明$C_0^{\infty}(\Omega)$在$L^p(\Omega)$里按$L^p$范数稠密，这里的$C_0^{\infty}$，有的书会使用$C_c^{\infty}$，是不是从我说的已知结论里推出来的呢？如果$C_c^{\infty}(\Omega), C_0^{\infty}(\Omega), L^p(\Omega)$前一个依次在后一个中稠密，在强调逼近意义时，用$C_0$或$C_c$应该没什么区别吧。

使用的范数，我想证明两种，一种是在无穷范数（上确界范数）下，命题是否成立。另一种是在索伯列夫空间$W^{k,p}$下的自然范数，定义如下
\[\|f\|_{k,p}=\left(\sum_{i=0}^{k}\|f^{(i)}\|_{p}^{p}\right)^{1/p}\]

其中$f^{(i)}$表示$f$的第$i$次导函数，$\|\cdot\|_p$就是$L^p$范数。在这个自然范数下，命题是否成立。