Lacunary function(间隔级数)

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Lacunary function
Lacunary Series, Mandelbrojt and Miles, 1927
“间隔级数”的第一个已知例子涉及泰勒级数，在它们的非零系数之间有很大的间隔。
几何级数\[g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\]用Weierstrass M-判别法证明级数在开圆盘$|z|<1$收敛。
它可延拓到一个解析函数$\frac1{1-z}$在除了$1$的任何地方都收敛，$1$是 $g(z)$ 的单极点(simple pole)。并且，对于单位圆上的点，由 $z = e^{iθ}$ 几何级数变为
\[g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{in\theta }=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\cos n\theta + i\sin n\theta \right)\]
设$a\in\mathbb{Z}\cap\left[2,\infty\right)$。考虑由幂级数定义的以下函数：
\[
f(z) = \sum_{n=0}^\infty z^{a^n} = z + z^a + z^{a^2} + z^{a^3} + z^{a^ 4} + \cdots
\]
幂级数一致收敛于$|z|< 1$的任何开子集。这可以通过将 $f$ 与几何级数进行比较来证明，当 $|z|< 1$ 时，几何级数绝对收敛。所以 $f$ 在单位开圆盘上是解析的。然而，$f$ 在单位圆上的每个点都是奇点，并且不能在开单位圆盘之外进行分析，如下面的论证所示。
显然 $f$ 在 $z=1$ 处有一个奇点，因为
\[
f(1) = 1 + 1 + 1 + \cdots\,
\]
是一个发散的级数。从
\[
f\left(z^a\right) = f(z) - z \qquad f\left(z^{a^2}\right) = f(z^a) - z^a \qquad f\left( z^{a^3}\right) = f\left(z^{a^2}\right) - z^{a^2} \qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n +1}}\right) = f\left(z^{a^n}\right)-z^{a^n}\]
我们可以看到，当 $z^a= 1$ 和 $z^{a^2}= 1$ 时，$f$ 在 $z$ 点具有奇点。通过对上述方程的归纳，对于所有自然数 $n$，$f$ 必须在每个 $a^n$ 次单位根处具有奇点。这些点的集合在单位圆上是稠密的，因此通过连续延拓，单位圆上的每个点都必须是 $f$ 的奇点。

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存在一个幂级数,它的奇点在收敛边界稠密,但是在收敛边界上至少有一点收敛? 知乎
$\sum^\infty _{n=1}z^{2^n}$ 不对,因为 $\underset{|z|=1}{\lim_{n\rightarrow\infty}}z^{2^n}\neq0$ 所以所有边界点都不收敛,很有可能所有点都是奇点.

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考虑\[f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}{z^{(2n+1)!!n}/\sqrt{n}}\]依交错级数判别法，它在 $-1$ 收敛。但任意奇数次单位根 $\omega_{2t+1}$ 是 $f(z)$ 解析延拓后的奇点，这是因为对 $z_m=\omega_{2t+1}\left(1-\frac1{(2m+1)!!m}\right)$ 有 \[f(z_m)=前几项+\left(\sum_{n=t}^{m}{\left(1-\frac1{(2m+1)!!m}\right)^{(2n+1)!!n}\bigg/\sqrt{n}}+正数\right)=\mathrm{O}(\sqrt{t})+\Omega\left(\frac{m-t}{2e\sqrt{m}}\right)\to\infty\quad(m\to\infty).\] 此外，显然 $z_m$ 都在 $f$ 的收敛域内部。

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解析延拓固好……可为什么存在啊！
连通开集里解析函数的局部决定全局，一种看法是我们想办法找出了一个解析函数在某个范围内的写法，因此可以通过局部还原全局信息。
另外，判断 ℂ 的连通开集上的解析函数是否还能延拓到更大的连通开集上，方法是看边界上的奇点分布情况——不能延拓当且仅当“不可去”奇点稠密（这里定义边界上的奇点可去当且仅当从开集内趋近该点时有极限）。该命题的证明也初等：若不可去奇点在边界上不稠密，取一个边界上的可去奇点 z 使边界上 z 附近的奇点都可去，此时可以在 z 做 Taylor 展开得出解析延拓；若存在着更大连通开集上的解析延拓，容易发现小开集的边界有一个点是大开集的内点，这个点和它附近都是可去奇点。
典型的不可延拓的例子是所谓的间隔级数(Lacunary function)

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Wikipedia
(Approximate) plot of the modulus of the function for $\sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}$ in the closed unit zero-centred circle. Natural boundary as the unit circumference is shown, together as its convergence rates azimuthally differing according to the powers-of-2's complex exponentials.

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YouTube: Gap series
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