n维圆环的体积

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垂直于生成圆环的圆所在平面切成楔形。设 $\Delta\theta$ 为楔形的角度。结果大约是一个具有圆形底面的圆柱体，除了边不是完全直的，但在 $\Delta\theta\to0$ 的极限时可以忽略。

底面不平行：如果我们将“圆柱体”放在一个底面上，顶部底面与水平面形成一个角度 $\Delta\theta$。最短和最长的“垂直”边是 $(R-r)\Delta \theta$ 和 $(R+r)\Delta\theta$。高度为 $R\Delta\theta$ 的水平面在高侧切出一个楔形，可以将其翻转过来以填充低侧。结果是一个高度为 $R$ 的圆柱体，底面半径为 $r$。

通过堆叠所有这些圆柱体，我们得到一个圆柱体，其高度为圆的周长。因此体积是 $(2\pi R)V_{n-1}(r)$。
$V_n(r)$为n维球体积, 可通过如下递归式计算:
$$V_1(r)=2\pi r,V_2(r)=\pi r^2,V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}$$