猜想：最后总是这三个数之一11，15，43

realnumber

小伙的高三同学发现的一个猜想：
定义Z变换如下，正整数$k=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n}$（质因数标准分解）变换为$t=p_1(a_1+1)+p_2(a_2+1)+\cdots +p_n(a_n+1)-1$.
猜想：任意一个大于等于2的正整数，通过足够多次Z变换，总能变成这三个数之一11，15，43.
举例：15  --->  $3\times2+5\times2-1=15$
43  ---> $43\times2-1=85=5\times17$  ---> $5\times2+17\times 2-1=43$
11等不举了，要变很多次，据称，这个同学编程检验了几万还是几百万来着，让我转发到这里. 有点吓到我了

Aluminiumor

我用 Python 检验了 $2$ 至 $10^7$ 的所有整数，似乎没有反例。

TSC999

输入 \(k=31\) 试试：
k = 31; k = 31$^1$; z = 31(1 + 1) - 1;
k = 61; k = 61$^1$; z = 61(1 + 1) - 1;
k = 121; k = 11$^2$; z = 11(2 + 1) - 1;
k = 32; k = 2$^5$; z = 2(5 + 1) - 1
k = 11;

Aluminiumor

TSC999 发表于 2025-4-15 11:07
输入 \(k=31\) 试试：

第三行，应为 $k=121;k=11^2;z=11\times(2+1)-1$

TSC999

Aluminiumor 发表于 2025-4-14 23:44
我用 Python 检验了 $2$ 至 $10^7$ 的所有整数，似乎没有反例。

有 mathematica 检测程序吗？

abababa

realnumber 发表于 2025-4-14 23:04
小伙的高三同学发现的一个猜想：
定义Z变换如下，正整数$k=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n}$（质因数标 ...

$a_i\ge3$时没有用吧，都能经过操作减少，直到减少到$a_i\le2$。因为当$a_i\ge3$时有$p_i^{a_i}\ge p_i(a_i+1)$，操作一次必定减少。

TSC999

下面这个 mathematica 程序可用来检验任何不大于 100 位的自然数是否符合主帖的猜想：

1. Clear["Global`*"];
2. a = 20785944570484154348291445110314811977989750;
3. Do[
4. b = Flatten[FactorInteger[a]]; n = Length[b];
5. s = 0;
6. Do[s = s + b[[k]] (b[[k + 1]] + 1), {k, 1, n, 2}];
7. s = s - 1; a = s;
8. Print[a]; If[(a == 15 || a == 11 || a == 43), Break[]], {9999}]

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例如对于  a= 20785944570484154348291445110314811977989750 这个数，运行结果为：

6027435124906065
1391059131
12043843
3441111
2275
54
15
最终 “收敛” 到 15。

对于  a = 3682219716521039736463107697463395955 这个数，运行结果为：

5811327558075977
71964415
28785775
2302876
743
1485
43
最终 “收敛” 到 43。

对于 a = 865622476545205763436445305  这个数，运行结果为：

17238829258301900
6312960
314
317
633
427
135
21
19
37
73
145
67
133
51
39
31
61
121
32
11
最终 “收敛” 到 11。

TSC999

下面这个类似的猜想是最终收敛到 8：
对大于等于 8 的整数 $a_1$ 的质因数分解 $a_1=p_{11}^{z_{11}} p_{21}^{z_{21}} \cdots p_{n_1}^{z_{n_1}}$，求出 $a_2=p_{11} z_{11}+p_{21} z_{21}+\cdots+p_{n_1} z_{\mathrm{n} 1}+1$ 的值。
再对 $a_2$ 的质因数分解 $a_2=p_{12}^{z_{12}} p_{22}^{z_{22}} \cdots p_{n_2}^{z_{n_2}}$ ，
求出 $a_3=p_{12} z_{12}+p_{22} z_{22}+\cdots+p_{n_2} z_{n_2}+1$ 的值。
如此一直迭代下去。
猜想：经过有限的 $m$ 次迭代以后，最终 $a_m$ 总能＂收敛＂到 8。
例如，对于初始值 $a_1=13=13^1, a_2=13 \times 1+1=14=2^1 \times 7^1,$
\[
a_3=2 \times 1+7 \times 1+1=10=2^1 \times 5^1, a_4=2 \times 1+5 \times 1+1=8
\]
文件代码如下，您可以用这个程序检验任何一个大于等于 8 的整数，看看有没有最终不等于 8 的反例：

1. Clear["Global`*"];
2. a = 13;
3. Do[
4. b = Flatten[FactorInteger[a]]; n = Length[b];
5. s = 0;
6. Do[s = s + b[[k]] b[[k + 1]], {k, 1, n, 2}];
7. a = s + 1;
8. Print[a]; If[a == 8, Break[]], {999}]

Copy the Code

kuing

TSC999 发表于 2025-4-17 10:56
其实，可以构造出更好一些的类似猜想。例如下面这个：

文件代码如下，您可以用这个程序检验任何一个正整数 ...

这个应该规定 a1>=8，否则对 1~6 会收敛到 6

这个应该比较容易证明，当 a1 比较大时，如果 a1 是合数，由于 pz<p^z，a2 肯定小于 a1，且不是小一点点，如果 a1 是素数，则 a2=a1+1，而 a2 必然是合数，那 a3 又会变小，也就是两步之内必变小，所以持续下去必然越变越小。

而 1# 的之所以难，是因为过程中它有可能不断变大