福建卷的文科第21题 之 几何面积最值

isee

记得有一年，福建卷，看上去就像少一页似的，不过，有时候福建卷数学题还是值得看一下。

今年文科倒数第二题 是一面积最值，几何题。

原参考答案是三角函数法，无可厚非，不过，那个化简，在学生的角度，大多数是“怕”的吧，不多话，上题

原题

如图(见附件，原题中的图)，在等腰直角三角形$\triangle OPQ$中，$\angle POQ=45^\circ$，$OP=2\sqrt 2$，点$M$在线段$PQ$上.
（1）若$OM=\sqrt 5$，求$PM$的长；
（2）若点$N$在线段$MQ$上，且$\angle MON=30^\circ$，问:当$\angle POM$取何值时，$\triangle OMN$的面积最小？并求出面积的最小值．

其妙

$\angle MON=45^\circ$时有个美妙的勾股结论

kuing

回复 2# 其妙

那个叫FAQ，很F那种……

kuing

话说这是中考题还是高考题？

kuing

应该是中考吧，但是大概也用不上三角？我说的是第二问，如图

要面积最小，只要 $MN$ 最小，我们将证明当 $PM=NQ$ 时取小（较粗的线），为此，另取一种情况 $M'N'$，则只要证明 $M'N'>MN$，即 $NN'>MM'$，注意到 $\angle MOM'=\angle NON'$, $OM=ON$，于是……这太显然，我就不写了，你们随便证，反正初中的东东，不用三角……

isee

话说这是中考题还是高考题？
kuing 发表于 2013-6-30 23:11

2013高考，文科倒数第二题，
eeafj.cn/ffcms/syzxzx/3244.jhtml            
链接一：2013年福建省普通高考各学科试题、参考答案   
108 m 巨大 第24页

如果 仅想看看原数学卷：edu.qq.com/a/20130609/011685.htm#p=3





纯几何法简洁极了，（多了解点纯几何知识没什么不好），就是你说写的。



这就叫会者不难，难者不会……

楼下写个代数法，我来，呵呵

kuing

OMG!...

isee

代数+基本不等式

（1） 在$\triangle OMP$ 中，注意$\angle P=45 ^\circ$，用余弦定理即得结果：1或3；

（2）如图标记各线段字母，作$OH \perp PQ$于$H$，记$\triangle OMN$的面积为$S$，则

\begin{align}
  S=\dfrac 12 ab \sin 30^\circ&=\dfrac 14 ab\notag\\
  \therefore ab&=4S\label{eq01}\\[1ex]
  S=\dfrac 12 t \cdot OH&=t\label{eq02}\\
  t^2=a^2+b^2-2ab\cos30^\circ&\ge 2ab-\sqrt3 ab\label{eq03}
\end{align}

将\eqref{eq01},\eqref{eq02}中的$ab,t$用$S$表示，代入\eqref{eq03}，有

\begin{align*}
S^2&\ge 8S -4\sqrt3 S\\
S&\ge 8 -4\sqrt3
\end{align*}

当$a=b$时取等号……

isee

应该是中考吧，但是大概也用不上三角？我说的是第二问，如图

要面积最小，只要 $MN$ 最小，我们将证明当 $ ...
kuing 发表于 2013-6-30 23:27

我最喜欢这个了。


不过，话说回来，如果对平几不熟悉，又猜不到$OM=ON$时取最小值话，这个纯几证明还是有一定难度的





＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

OMG!...
kuing 发表于 2013-7-1 00:45

其实，（标答）分母直接积化和差就是最后一步了，可惜，不要求，新课标。

$\sin (45^\circ+\alpha)\sin(75^\circ+\alpha)=-\dfrac 12(\cos(120^\circ+2\alpha)-\cos(-30^\circ)),\cdots $

isee

$\angle MON=45^\circ$时有个美妙的勾股结论
其妙 发表于 2013-6-30 22:16

    补成正方形后，才叫真的美^

kuing

回复 8# isee

eps图真大，可以的话，为节约空间，删去吧。

isee

回复  isee

eps图真大，可以的话，为节约空间，删去吧。
kuing 发表于 2013-7-1 01:31

    删了

    版面太大，主要是





   太可怜了，话说，这其实很小很小

其妙

建立坐标系， 设$OM=a$，$ON=b$，$\angle POM=\alpha$，$\angle PON=\alpha+\dfrac{\pi}6$
$M(a\cos \alpha$，$a\sin\alpha) $，$N(b\cos( \alpha+\dfrac{\pi}6) $，$b\sin(\alpha+\dfrac{\pi}6)) $，代入直线$PQ$方程：$x+y=2\sqrt2$，得$a\sin( \alpha+45^0)=2$，$b\sin( \alpha+75^0)=2$，故$ab\sin( \alpha+45^0) \sin( \alpha+75^0)=4$
但是，$S=\dfrac12ab\sin30^0=\dfrac14ab$，故$S=\dfrac{1 }{\sin( \alpha+45^0) \sin( \alpha+75^0)} $，以下同标准解法，或者积化和差可做了。

其妙

回复 13# 其妙
                                                         
方法二：显然$\triangle OPQ$的高$OH=2$，设$\angle MOH=\theta$（可以小于$0$），$\angle NOH=\varphi $（可以小于$0$），
故$\theta+\varphi=\dfrac{\pi}6$，于是$OM=\dfrac2{\cos\theta} $，$ON=\dfrac2{\cos\varphi}$，$S=\dfrac12OM\cdot ON \sin30^0=\dfrac{1 }{\cos\theta\cos\varphi }$。
而$2\cos\theta\cos\varphi=\cos(\theta+\varphi) +\cos(\theta-\varphi)\leqslant\cos(\theta+\varphi) +1=\dfrac{\sqrt3+2}2$，
故$S=\dfrac{2 }{2\cos\theta\cos\varphi }\geqslant\dfrac{4}{\sqrt3+2}= 8-4\sqrt3$，
当且仅当$\cos(\theta-\varphi)=1$，即$\theta=\varphi$取等号，此时$\angle POM=\dfrac{\pi}6$。

isee

回复  其妙
                                                         
方法二：显然$\triangle OPQ$的 ...
其妙 发表于 2013-7-1 22:42

    好，成一题多解了

PS：\sin 30^\circ 才是$\sin 30^\circ$ 规范输入；不过，自己打命令比复制已经进步多了

其妙

回复 15# isee
其实我是知道那个圆圈的打法的，想了一下，也不必太追究现实效果的完美了

isee

回复 16# 其妙


    你和我，都有强迫症

其妙

回复 14# 其妙
方法三：，同法二，用14楼的图，$MH=2\tan\theta$，$NH=2\tan\varphi$，$S=\dfrac12MN\cdot OH=MN$，
故$S=MN =2(\tan\theta+\tan\varphi)= 2[\tan\theta+\tan(30^0-\theta)]= 2(\tan\theta+\dfrac{\dfrac{ \sqrt3}3-\tan\theta }{1+\dfrac{\sqrt3}3\tan\theta })=2(\tan\theta+\dfrac{1-\sqrt3\tan\theta }{\sqrt3+\tan\theta})$，
令$u=\sqrt3+\tan \theta$，则$S=2(u-\sqrt3+\dfrac{1-\sqrt3 (u-\sqrt3)}{u}=2(u+\dfrac4u)-4\sqrt3\geqslant8-4\sqrt3$，
当且仅当$u=\sqrt3+\tan \theta=2$，即$\tan \theta=2-\sqrt3$，$\theta=15^0$，$\angle POM=\dfrac{\pi}6$时，$S$取得最大值$8-4\sqrt3$。

其妙

回复 17# isee
，很感谢你，向你学会了word里的那个aurora

kuing

不是给了简打 \du 么……