|
|
$n$阶矩阵$A,B$, 证明$\def\rk{\operatorname{rank}}\rk A + \rk B \leq \rk AB + n.$
证明
$\small\rk A + \rk B \leq \rk AB + n⇔(n-\rk A)+(n-\rk B)\geq n-\rk(AB)⇔\dim\ker A+\dim\ker B\geq\dim\ker AB$
直观上，被 $AB$ 零化的向量要么被 $B$ 映到0，要么稍后被 $A$ 映到0，因此 $\ker(AB)$ 的维数不能超过 $\dim\ker A+\dim\ker B$。
设$B$在$\ker(AB)$的限制为$\tilde B:\ker(AB)\to K^n$, 因为$\ker B\subseteq \ker(AB)$, 我们有$\ker(\tilde B)=\ker(B)$, 所以$$\dim\ker(\tilde B)=\dim\ker(B)$$
$\forall v\in\ker(AB),A(Bv)=0$, 即$A(\tilde Bv)=0$, 所以 $\operatorname{im}\tilde B\subseteq\ker A$, 两边取$\dim$得$$\rk\tilde B\leq\dim\ker A$$
两式相加,$$\dim\ker\tilde B+\rk\tilde B\leq\dim\ker B+\dim\ker A$$
对 $\tilde B$ 使用 rank-nullity 得 $$\dim\ker(AB)\leq\dim\ker B+\dim\ker A$$证毕.
math.stackexchange.com/questions/298836 |
|
