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$n$个函数$y_i(x),i=1,\cdots,n$是独立的, 是指每个$y_i$不能写成所有其他的$y_i$的表达式.
独立, 则线性无关, 逆命题不成立.
线性无关: 不存在常数$c_i$使$\sum_{i=1}^nc_iy_1(x)≡0$.
Wronskian=0则线性无关, 逆命题不成立.
一般而言，对于 $n$ 阶线性微分方程，如果已知 $(n-1)$ 个解，则可以使用 Wronskian 确定最后一个解。
见The Wronskian and linear independence
Wikipedia:
A general solution of an $n$th-order equation is a solution containing $n$ arbitrary independent constants of integration.
一个$n$阶微分方程的通解包含 $n$ 个独立的任意常数(严格的证明见丁同仁,李承治编《常微分方程教程》第二版第十章).
定义1.3给出了 $n$ 阶常微分方程
\begin{equation} \label1 F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0\end{equation}
的通解的定义:如果 $ y=\phi(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)$ 是方程 \eqref{1} 的解, 且常数 $ C_1,C_2,\cdots,C_n$ 是独立的,那么称 $y=\phi(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)$ 是方程 \eqref{1} 的通解.
所谓$ C_1,C_2,\cdots,C_n$ 独立, 其含义是 Jacobi 行列式 \begin{equation} \label2\begin{vmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial C_1}&\frac{\partial \phi}{\partial C_2}&\cdots&\frac{\partial\phi}{\partial C_n}\\ \frac{\partial \phi'}{\partial C_1}&\frac{\partial \phi'}{\partial C_2}&\cdots&\frac{\partial \phi'}{\partial C_n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ \frac{\partial \phi^{(n-1)}}{\partial C_1}&\frac{\partial \phi^{(n-1)}}{\partial C_2}&\cdots&\frac{\partial \phi^{(n-1)}}{\partial C_n}\\ \end{vmatrix}\neq 0. \end{equation}其中\begin{equation} \label3\begin{cases} \phi=\phi(x,C_1,\cdots,C_n),\\ \phi^{(1)}=\phi^{(1)}(x,C_1,\cdots,C_n),\\ \phi^{(2)}=\phi^{(2)}(x,C_1,\cdots,C_n),\\ \vdots\\ \phi^{(n-1)}=\phi^{(n-1)}(x,C_1,\cdots,C_n). \end{cases}\end{equation}
对于微分方程 \eqref{1}, 我们给出初值条件:
$$ y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y_1,\cdots,y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}, $$
把这些初值条件代入 \eqref{3} 时,得到
\begin{equation}\label4 \begin{cases} y_0=\phi(x_0,C_1,\cdots,C_n),\\ y_1=\phi^{(1)}(x_0,C_1,\cdots,C_n),\\ \vdots\\ y_{n-1}=\phi^{(n-1)}(x_0,C_1,\cdots,C_n) \end{cases}\end{equation}
由于 \eqref{2} 行列式不为0, 根据多元反函数定理 $C_1,\cdots,C_n$有解, 所以初值问题有解. |
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