根据一篇笔记的定理4
对称矩阵$A,B$可以同时合同对角化的充要条件为存在正定对称矩阵$H$，使得$AHB = BHA$。
抄录学习凸优化的时候遇到了实对称矩阵的同时对角化的问题，发现自己线性代数忘得差不多了。查阅了一些资料之后整理一下有关的定理，有些比较繁琐的证明就不写了。注意，下面未经说明都是实矩阵。
如果存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP = diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$，则称$A$可以相似对角化。
如果存在可逆矩阵$P$，使得$P^TAP = diag\{\mu_1,\cdots,\mu_n\}$，则称$A$可以合同对角化。
特别的，如果$P$是正交矩阵，即$P^{-1} = P^T$，则称$A$可以正交合同对角化。此时$\mu_i$为$A$的特征值。
我们有如下结果
「定理1」 如果$A$是对称矩阵，那么$A$可以正交合同对角化。
证明：对阶数用数学归纳法。
「定理2」 如果$A$是正定对称矩阵，那么$A$可以合同对角化于单位阵，即存在可逆矩阵$Q$，使得$A = Q Q^T$。
证明：$A = Pdiag\{\mu_1\cdots\mu_n\}P^T$，取$Q = Pdiag\{\sqrt{\mu_1}\cdots\sqrt{\mu_n}\}$。
「定理3」 如果$A,B$是对称矩阵，那么$A,B$可以同时正交合同对角化的充要条件为$AB = BA$。
证明：必要性，$P^TABP = diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}diag\{\mu_1,\cdots,\mu_n\} = P^TBAP$，因此$AB = BA$。
充分性，先对$A$做正交合同对角化。然后利用这个矩阵$P$对$B$作合同变换。利用可交换性，得到$P^TBP$为分块对角矩阵，然后对每个分块做正交合同对角化。注意到$Q_i^T\lambda_iIQ_i = \lambda_iI$，这就构造出了同时正交合同对角化。
「定理4」 如果$A,B$是对称矩阵，那么$A,B$可以同时合同对角化的充要条件为存在正定对称矩阵$H$，使得$AHB = BHA$。
证明：必要性，$P^TAPP^TBP = P^TBPP^TAP$，因此$APP^TB = BPP^TA$，取$H = PP^T$。
充分性，存在可逆矩阵$P$，使得$H = PP^H$，因此对称矩阵$P^TAP$和$P^TBP$可交换。根据定理3，存在正交矩阵$Q$，使得$Q^TP^TAPQ = diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\},Q^TP^TBPQ = diag\{\mu_1,\cdots,\mu_n\}$。这就构造出了同时合同对角化。
「定理5」 如果$A,B$是对称矩阵，且$A$正定，那么$A,B$可以同时合同对角化。更强地，存在可逆矩阵$P$，使得$P^TAP = I_n,P^TBP = diag$。
证明：$A$为正定对称矩阵，存在可逆矩阵$P$，使得$P^TAP = I_n$，对$P^TBP$做正交合同对角化。注意到$Q^TP^TAPQ = I_n$，这就实现了同时合同对角化。
事实上，定理5可以看成定理4的特例。注意到$AA^{-1}B = BA^{-1}A$，且$A^{-1}$为正定对称矩阵，由定理4可知$A,B$可同时相合对角化。  | 
