正方和谐函数

hjfmhh

请教：D选项是怎么设计出来的？那个2x是怎么来的？换成其他的可不可以？怎么证明？

uk702

由 f(0) = 0，f(1) = 1，f(nx) ≧ n f(x)，知 f(1/n)≤ 1/n，进而知 f(x) ≤ x 对一切有理点均成立。

再由 f(x) 递增，知 f(x+) ≤ x+0.0000000...，
∴ f(x) ≤ x 均成立

正确答案是 ABCD 均对?

uk702

uk702 发表于 2024-1-10 11:20
由 f(0) = 0，f(1) = 1，f(nx) ≧ n f(x)，知 f(1/n)≤ 1/n，进而知 f(x) ≤ x 对一切有理点均成立。

再由 ...

令 f(x)=0，若 0≤x≤1/2；f(x)=1，若 x > 1/2，易验证 f(x) 是 和谐函数，这时有 f(x) ≤ 2x，且 2 是最佳系数。

进而可证 f(x)≤2x 恒成立如下：

若 x≧1/2，则显然的有 f(x) ≤1 ≤2x
若 x <1/2，假设 k ≧ 1 之最大值使得 1/2 ≤ kx ≤ 1，则有 k f(x) ≤ f(k x) ≤ f(1) ≤ 1
∴ f(x) ≤ 1/k ≤ 2x

kuing

D 选项那是十几年前的陈题了，见《撸题集》P.564 题目 4.8.15。

hjfmhh

kuing 发表于 2024-1-10 13:43
D 选项那是十几年前的陈题了，见《撸题集》P.564 题目 4.8.15。

2x是最佳的吗？

uk702

若 f(x) 连续（甚至无限次可导）且严格递增，2 还是最佳的吗？瞪眼看结论应该还是对的。

比如，f(x)=x^n（选用 f(x)=x/n 好像也好使可能也更容易验证），若 x<1/2; f(x)=1-(1-x)/m，若 x>1/2+ε；f(x)=某无限可导且严格增的函数，1/2≤ x ≤ 1/2+ε 。
其中 n、m 足够大，ε 趋于 0+，就看怎么拼出这样的函数了

kuing

uk702 发表于 2024-1-10 16:03
若 f(x) 连续（甚至无限次可导）且严格递增，2 还是最佳的吗？瞪眼看结论应该还是对的。

比如，f(x)=x^n（ ...

试图构造一个可以无限接近 `\begin{cases} 0 & x\in[0,0.5] \\ 1 & x\in(0.5,1] \end{cases}` 的可导函数：设参数 `a>0`，令
\[f(x)=\frac{\arctan\bigl(a(2x-1)\bigr)}{2\arctan a}+\frac12,\quad x\in[0,1],\]
当 `a` 越大它就越接近。

a=100 如上图

至于要验证这个函数满足条件，可以使用这帖 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=9104&page=1#pid57439 的 12# 的命题。
\begin{align*}
&f(x_1)+f(x_2)\leqslant f(x_1+x_2)\\
\iff{}&\frac{\arctan\bigl(a(2x_1-1)\bigr)+\arctan\bigl(a(2x_2-1)\bigr)}{\arctan a}+1\leqslant\frac{\arctan\bigl(a(2x_1+2x_2-1)\bigr)}{\arctan a},
\end{align*}
记 `b=-a(2x_1-1)`, `c=-a(2x_2-1)`, `d=-a(2x_1+2x_2-1)`，则 `b+c=d+a=-2a(x_1+x_2-1)\geqslant0` 且 `\abs{b-c}=2a\abs{x_1-x_2}\leqslant2a(x_1+x_2)=\abs{d-a}`，用链接中的符号来表示就是 `P(a,b,c,d,\mbb R)` 且 `b+c\geqslant0`，而上式去分母整理即
\[-\arctan b-\arctan c\leqslant-\arctan a-\arctan d,\]
`-\arctan x` 就是奇函数且先上凸后下凸，因此属于链接中的命题 1 情况（B），即得证。