保持一点，交换两点的一维射影变换

hbghlyj

给定直线上的点O、A、B，求射影变换将O映到O，将A映到B，将B映到A

作法：作O关于AB的调和共轭H，以OH为直径作圆，直线上每个点关于这个圆的反演变换符合要求

这个圆属于点圆A、点圆B所确定的共轴圆系。这个题相当于在这个圆系中找到过O的唯一的圆。

在GeoGebra中，可以不用作出H，直接输入这个圆的方程:
((x(O) - x(B))² + (y(O) - y(B))²) ((x - x(A))² + (y - y(A))²) = ((x(O) - x(A))² + (y(O) - y(A))²) ((x - x(B))² + (y - y(B))²)

hbghlyj

这个「保持一点，交换两点的一维射影变换」不唯一。
按上面作法作出的是对合。若改为「保持一点，交换两点的一维对合变换」就唯一了。