正素数、正奇数边形任何三角对角线形内不共点

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正素数、正奇数边形任何三角对角线形内不共点 周永良 -源自文库.

whc57是杨之先生1986年提出的一个猜想:当n为奇数时, 正n边形任何三条对角线在形内不共点^[1], 杨之先生对这一猜想的解决相当关注.2000年第四届初数会上, 他作了一个大会报告, 在“回顾若干whc的研究”一节中, 回顾了whc57两次失败的证明, 说明这一猜想虽简明易懂, 但解决相当困难, 他感叹15年来竟无人能“动它一根毫毛”, 估计离解决尚远, 笔者以为, 此猜想研究的任何进展, 应该是令人鼓舞的.

引理1^[1] 在圆内接凸六边形A₁…A₆中, 三条对角线A₁A₄, A₂A₅, A₃A₆共点的充要条件是

A₁A₂·A₃A₄·A₅A₆=A₂A₃·A₄A₅·A₆A₁. ①

设正n边形顶点Z_k对应复数$z_k=e^\frac{2k\text{π}i}n=w^k,w=e^\frac{2\text{π}i}n$.设0≤k₁<k₂<…<k₆<n, n₁=k₂-k₁, n₂=k₃-k₂, …, n₅=k₆-k₅, n₆=n+k₁-k₆, n₁, …, n₆∈N, 显然, n₁+…+n₆=n.

引理2 Z_k1Z_k4, Z_k2Z_k5, Z_k3Z_k6三线共点的充要条件是下列之一:

f₁ (w) = (w^k₂-w^k₁) (w^k₄-w^k₃) (w^k₆-w^k₅) + (w^k₃-w^k₂) (w^k₅-w^k₄) (w^k₁-w^k₆) =0. ②

f₂ (w) =w^{n₁+n₃+n₅} (w^n₂-1) (w^n₄-1) · (w^n₆-1) + (w^n₁-1) (w^n₃-1) (w^n₅-1)

=0. ③

其中n₁、n₃、n₅可与n₂、n₄、n₆互换.

f₃ (w) =w^{n₁+n₃+n₅} (w^n₂+n₄+w^n₄+n₆+w^n₆+n₂-w^n₂-w^n₄-w^n₆) + (w^n₁+n₃+w^n₃+n₅+w^n₅+n₁-w^n₁-w^n₃-w^n₅) =0. ④

其中n₁、n₃、n₅与n₂、n₄、n₆可互换.

f₄ (w) = (w^{n₁+n₃+n₅}-1) (w^n₂-1) (w^n₄-1) (w^n₆-1) - (w^{n₂+n₄+n₆}-1) (w^n₁-1) (w^n₃-1) (w^n₅-1) =0. ⑤

证明:0≤θ₂-θ₁≤2π时, 记 \begin{array}{l}\alpha=\frac{\theta_2-\theta_1}2‚\\\beta=\frac{\text{π}+\theta_2+\theta_1}2‚\text{则}\end{array} e^iθ₂-e^iθ₁=2sinα (cosβ+isinβ)

=|e^iθ₂-e^iθ₁|e^{β i} (∵sinα≥0,

故sinα=|e^iθ₁-e^iθ₂|) .

记$\theta_{uv}=\frac{\text{π}}2+\frac{k_v\text{π}}n+\frac{k_u\text{π}}n$, 则有

w^k_u-w^k_v=Z_kuZ_kve^iθ_uv.

∴ (w^k₂-w^k₁) (w^k₄-w^k₃) (w^k₆-w^k₅)

=Z_k2Z_k1·Z_k4Z_k3·Z_k6Z_k5·e ^{(θ₁₂+θ₃₄+θ₅₆) i}

- (w^k₃-w^k₂) (w^k₅-w^k₄) (w^k₁-w^k₆)

=Z_k3Z_k2·Z_k5Z_k4·Z_k1Z_k6·e ^{(θ₁₂+θ₃₄+θ₅₆) i}.

由引理1即知, Z_k1Z_k4, Z_k2Z_k5, Z_k3Z_k6共点的条件是②成立.

f₁ (w) ·w^{k₂-k₄-k₆}·w^{n₁+n₃+n₅}=f₂ (w) .

现②与③等价;③展开, 注意n₁+…+n₆=n, wⁿ=1, 即为f₃ (w) , 故③、④等价;f₂ (w) 中n₁、n₃、n₅与n₂、n₄、n₆互换得f₂′ (w) , f₂′ (w) -f₂ (w) =f₄ (w) .反之, 若⑤成立, 两端乘以w^{n₁+n₃+n₅}, 注意w^{n₁+n₃+n₅}-1≠0, 即为③.

引理3 Z_k1Z_k4, Z_k2Z_k5, Z_k3Z_k6三线共点的充要条件是下列条件之一:

φ_n (x) |f_i (x) , i=1, 2, 3或4. ⑥

其中φ_n (x) 是分圆多项式^[1], f_i (x) 是将②～⑤中f_i (w) 中的w换为x而得到的多项式.

证明:若②成立, 则f₁ (x) 有根x=w;但φ_n (x) 也有根w, 而φ_n (x) 为不可约多项式, 所以φ_n (x) |f (x) (见^[2]第四章§2的定理二) .反之, 若φ_n (x) |f₁ (x) , 显然有②成立.因而三线共点的条件是⑥中i=1时成立.类似证i=2, 3, 4的情形.

定理1 素数条边的正多边形任何三条对角线在形内不共点.

证明:设素数n≥7, 我们来证明, 对任何其和为n的正整数组 (n₁, …, n₆) , φ_n (x) |f₂ (x) 不会成立.因为f₂ (x) 可分解为f₂ (x) = (x-1) ³g (x) , 其中g (x) 是 (n-3) 次非零多项式;n是素数, φ_n (x) =x^n-1+…+1是φ (n) =n-1次多项式, φ_n (x) ∤ (x-1) ³, φ_n (x) ∤g (x) , 故φ_n (x) ∤f₂ (x) .

定理2 奇数条边的正多边形任何三条对角线在形内不共点.

证明:用反证法, 设n为奇数, 正整数n₁, …, n₆满足n₁+…+n₆=n, 使相应三条对应线共点, 则

f₂ (w) =0. ①

即f₂ (x) 有根w, 从而φ_n (x) |f₂ (x) , 因n为奇数, (2, n) =1, w²为n次本原单位根, 故w²是φ_n (x) 的根, 进而是f₂ (x) 的根, 即

f₂ (w²) =0 ②

由①将f₂ (w²) 析因, 第1项为

w^{2 (n₁+n₃+n₅)} (w^n₂+1) (w^n₄+1) (w^n₆

+1) · (w^n₂-1) (w^n₄-1) (w^n₆-1)

=-w^{n₁+n₃+n₅} (w^n₂+1) (w^n₄+1) (w^n₆+1) (w^n₁-1) (w^n₃-1) (w^n₅-1) .

因而, f₂ (w²) 前后两项有非零公因式

(w^n₁-1) (w^n₃-1) (w^n₅-1) ,

②中约去这个因式, 得

w^{n₁+n₃+n₅} (w^n₂+1) (w^n₄+1) (w^n₆+1)

= (w^n₁+1) (w^n₃+1) (w^n₅+1) . ③

又①可写作

w^{n₁+n₃+n₅} (w^n₂-1) (w^n₄-1) (w^n₆-1)

=- (w^n₁-1) (w^n₃-1) (w^n₅-1) . ④

③、④两式相加, 除以2,

w^{n₁+n₃+n₅} (w^{n₂+n₄+n₆}+w^n₂+w^n₄+w^n₆)

=w^n₃+n₅+w^n₅+n₁+w^n₁+n₃+1,

w^{n₁+n₃+n₅} (w^n₂+w^n₄+w^n₆) =w^n₃+n₅+w^n₅+n₁+w^n₁+n₃,

w^n₂+w^n₄+w^n₆=w^-n₁+w^-n₃+w^-n₅. ⑤

③、④两式相减, 除以2,

w^{n₁+n₃+n₅} (w^n₄+n₆+w^n₆+n₂+w^n₂+n₄+1)

=w^{n₁+n₃+n₅}+w^n₁+w^n₃+w^n₅,

w^{n₁+n₃+n₅} (w^n₄+n₆+w^n₆+n₂+w^n₂+n₄)

=w^n₁+w^n₃+w^n₅,

w^n₄+n₆+w^n₆+n₂+w^n₂+n₄=w^-n₃-n₅

+w^-n₅-n₁+w^-n₁-n₃. ⑥

同时, 由wⁿ=1, 又有

w^{n₂+n₄+n₆}=w^{-n₁-n₃-n₅}. ⑦

⑤、⑥、⑦表明, w^n₂, w^n₄, w^n₆和w^-n₁, w^-n₃, w^-n₅是同一个三次方程的三个根, 但是, w^n₂, w^n₄, w^n₆中任何一个与w^-n₁=w^n-n₁, w^-n₃=w^n-n₃, w^-n₅=w^n-n₅中任何一个, 都不可能相等, 因此, 不可能有正整数n₁, n₂, …, n₆满足①, 由^[1]的引理2, 知定理得证.

由此即知, 当n为奇数时, 正n边形交点数为 \[D(n)=C_n^4=\frac1{24}n(n-1)(n-2)(n-3).\] 对于偶数情况, 作者猜想:若2|n, 3不能整除n (即n=6k±2) , 则除了主对角线汇于中心外, 正n边形任何四条或四条以上的对角线在形内不共点.

References

[1] 　杨之.初等数学研究的问题与课题.长沙:湖南教育出版社, 1993.

[2] 　华罗庚.数论导引.北京:科学出版社, 1957.

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What is the number of intersections of diagonals in a convex equilateral polygon?