Melchior不等式

hbghlyj

Melchior's inequality

对于平面中的直线组成的有限集，对于每一个 $ k\geq 2 $，令 $ t_{k} $ 为 $ k $ 条直线相交的点的数量。那么
$$\sum _{k\geq 2}(k-3)t_{k}\leq -3. $$
等价地，
$$t_{2}\geqslant 3+\sum _{k\geq 4}(k-3)t_{k}. $$

如何证明呢

由上式推出$t_2\geqslant3$，从而证明了Sylvester–Gallai theorem.

它是可以取等的：$t_2=3$，对于3条直线(不交于一点)，形成3个交点，每个交点为2条直线的交点。

hbghlyj

每个面由至少三个边限定，并且每个边限定两个面；因此，重复计算边数得出
$$\tag1\label1
3F\le2E$$
实射影平面的Euler characteristic为 1，所以$$V-E+F=1$$将$F=1-V+E$代入\eqref{1}得$3(1-V+E)\le 2E$，即
$$\tag2\label2
E-3V\le-3$$
每个顶点是至少2条直线的交点，所以$t_1=0$，且
$$\tag3\label3
V=\sum_{k\ge 2}t_k$$
$t_k$ 是 $k$ 条直线相交的顶点数，这样的顶点在图中度为 $2k$，Handshaking lemma得出$2E=\sum_{k\ge2}2kt_k$，即$$\tag4\label4
E=\sum_{k\ge2}kt_k$$
将\eqref{3}、\eqref{4}代入\eqref{2}得
$$\sum_{k\ge2}(k-3)t_k\le-3$$证毕！