证等角

乌贼

如图：$ABCD$为平行四边形，$BE=DF$，$BF$交$DE$于$G$。求证$\angle BCG=\angle DCG$。

爪机专用

经典老题的节奏。。。

战巡

回复 1# 乌贼

过$G$作$BC、CD$垂线，令垂线长度为$h_1,h_2$
于是只要证明$h_1=h_2$就好

即证明$\frac{S_{△BGC}}{S_{△CGD}}=\frac{BC}{CD}$
连$CF、CE$，易证$S_{△BFC}=S_{△CED}=\frac{1}{2}BC·CD·\sin∠BCD$
于是有
\[\frac{GF}{BG}=\frac{BF}{BG}-1=\frac{S_{△BGC}}{S_{△BFC}}-1=\frac{CD·\sin∠BCD}{h_1}-1\]
\[\frac{EG}{DG}=\frac{ED}{DG}-1=\frac{S_{△CGD}}{S_{△CED}}-1=\frac{BC·\sin∠BCD}{h_2}-1\]
梅涅劳斯定理可得
\[\frac{GF}{BG}=\frac{AE}{BE}·\frac{DF}{AD}=\frac{AE}{AD}=\frac{CD-BE}{BC}\]
\[\frac{CD·\sin∠BCD}{h_1}-1=\frac{CD-BE}{BC}\]
\[\frac{1}{h_1}=\frac{BC+CD-BE}{BC·CD·\sin∠BCD}\]
同理可得
\[\frac{1}{h_2}=\frac{BC+CD-BE}{BC·CD·\sin∠BCD}\]

isee

在人教中见过这题后来发现，这题是2003年澳大利亚的竞赛题。
后，向量证明（角分嘛，单位向量）时也研究过……


＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

作两垂直后，直接面积差，这是最简洁的。

具体可参考：kkkkuingggg.haotui.com/thread-1011-1-1.html

从第6楼开始。


人教也有几种 比例证明方法
bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2501016

乌贼

学习了

乌贼

链接打不开了补充一下

延长$ CB,DE $交于$ M $，作$ DN\px BF $交$ BC $于$ N $，有\[ BE\px CD\riff\dfrac{ME}{MD}=\dfrac{MB}{MC}\\BG\px ND\riff \dfrac{MG}{MD}=\dfrac{MB}{MN} \]所以\[ \dfrac{\dfrac{MB}{MC}}{\dfrac{MB}{MN}}=\dfrac{\dfrac{ME}{MD}}{\dfrac{MG}{MD}}\riff\dfrac{MN}{MC}=\dfrac{ME}{MG}\riff NE\px CG \riff \angle BCG=\angle BNE \]又\[ BN=DF=BE\riff \angle BNE=\angle BEN=\dfrac{1}{2}\angle BCD \]故\[ \angle BCG=\dfrac{1}{2}\angle BCD \]

乌贼

回复 6# 乌贼
犯傻了
\[ \triangle HGB\sim \triangle DGF\riff \dfrac{HG}{DG}=\dfrac{HB}{DF}=\dfrac{HB}{BE}=\dfrac{HC}{CD}\riff \angle HCG=\angle DCG \]