求解一个不等式问题

雪落湖畔

a≥b≥c≥0，a+b+c=3,证明：ab²+bc²+ca²≤27/8
哪位有时间帮忙分析一下，谢谢。祝大家春节快乐！

雪落湖畔

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   看来大家都还忙着过年呢，哈哈，

kuing

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嗯，我刚回家，等我找找链接先。

kuing

不是很难，还是自己写一遍，懒得找了。

因为 $ab^2+bc^2+ca^2-(a^2b+b^2c+c^2a)=(a-b)(b-c)(c-a)\leqslant0$，所以
\begin{align*}
ab^2+bc^2+ca^2&\leqslant\frac12(ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a) \\
& =\frac12(a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac32abc \\
& =\frac32(ab+bc+ca-abc),
\end{align*}
记 $q=ab+bc+ca$, $r=abc$，则只要证
\[q-r\leqslant\frac94.\]

（1）如果 $q\leqslant9/4$ 则显然成立；

（2）如果 $q>9/4$，则由 Schur 不等式知
\[r\geqslant\frac{4q}3-3,\]
故此
\[q-r\leqslant q-\left( \frac{4q}3-3 \right)=3-\frac q3<3-\frac34=\frac94.\]

综上知不等式成立。

kuing

齐次化后用 Schur 分拆更简单。

同楼上第一步，只要证
\[4(ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a)\leqslant(a+b+c)^3,\]
整理为
\[a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)+3abc\geqslant0,\]
显然成立。