$\frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(1-x)}{f(1-y)} \le 2$，求$f(x)$

abababa · 发表于 2014-6-25 08:11

$f(x)$定义在$(0, 1)$上且为实数，$f(x) > 0, f(\frac{1}{2}) = 1$，对任意$x,y \in (0,1)$都有$\frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(1-x)}{f(1-y)} \le 2$，求$f(x)$
这个我解出来$f(x) = 1$，不过感觉自己的做法有点麻烦，用了两次平均值不等式，想看看有没有简化点的方法
还有我发帖时说标题长度多于80字，是不是能放宽点呢？有时打上一些latex就很长了

007 · 发表于 2014-6-25 10:05

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$\frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(1-x)}{f(1-y)} \le 2,\frac{f(y)}{f(x)}+\frac{f(1-y)}{f(1-x)} \le 2$,两式相加，利用平均值不等式，可得$\frac{f(x)}{f(y)}=\frac{f(y)}{f(x)}$,从而$f(x)=f(y)$,即是常数函数。