min{max{1/a,1/b,a^2+b^2}}与max{min{}}的区别？

realnumber

a,b是正数，求min{max{1/a,1/b,$a^2+b^2$}}.
a,b是正数，求max{min{1/a,1/b,$a^2+b^2$}}.

爪机专用

这种题目其实最好不要这样表达，因为你同一个式子中 min 和 max 的意思不一样，一个是最值，一个是取元素

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QQ抄过来的，没考虑过你说的问题。

kuing

题目可以这样写：
设 $a$, $b$ 是正数。
（1）求 $\max\{1/a,1/b,a^2+b^2\}$ 的最小值；
（2）求 $\min\{1/a,1/b,a^2+b^2\}$ 的最大值。

解
（1）设 $M=\max\{1/a,1/b,a^2+b^2\}$，则 $M^3\geqslant (a^2+b^2)/(ab)\geqslant 2\riff M\geqslant\sqrt[3]{2}$，当 $a=b=1/\sqrt[3]{2}$ 时取等；

（2）由对称性不妨设 $a\leqslant b$，则 $\min\{1/a,1/b,a^2+b^2\}=\min\{1/b,a^2+b^2\}$，设 $m=\min\{1/b,a^2+b^2\}$，则 $m^3\leqslant (a^2+b^2)/b^2\leqslant 2\riff m\leqslant\sqrt[3]{2}$，当 $a=b=1/\sqrt[3]{2}$ 时取等。

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1和你一样，
2的解法，本来打算用调整法的。

kuing

回复 5# realnumber

（1）好像是课本上的题，或者类似

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f(x),g(x),是x>0的增函数，h(x,y),k(x,y)对于给定正数x(或y),是y(或x)的增函数.
(假定f,g,h,k四个函数值域为R+,我不太肯定哪些必要，哪些多余)
那么求min{f(x),g(x),h(1/x,1/y)}的最大值。应该就是1楼1的类型。
用调整法可以得到在f(x)=g(x)=h(1/x,1/y)处取到最值。似乎2也类似。

如果修改为那么求min{f(x),g(x),h(1/x,1/y),k(1/x,1/y)}的最大值。情况似乎复杂了。

realnumber

还是具体写个题目吧，乱编没注意凑不凑好，数据不好，自己修改
a,b是正数，求max{1/a,1/b,$2a^2+3b^2，4a^2+2b^2$}的最小值.