一道好像有三角背景的解方程

kuing

解关于 $x$ 的方程
\[
\left( \frac{x-a^2}{x+a^2} \right)^2+\left( \frac{x-b^2}{x+b^2} \right)^2+\left( \frac{x-c^2}{x+c^2} \right)^2+2\cdot \frac{x-a^2}{x+a^2}\cdot \frac{x-b^2}{x+b^2}\cdot \frac{x-c^2}{x+c^2}=1.
\]

caijinzhi

cosA cosB cosC!?

kuing

回复 2# caijinzhi

嗯，所以我说似乎有三角背景。
但是那三项的范围可能不限于 [-1,1]，所以也不能直接那样换元。
通过软件分解会有很简单的结果，只是不知手工怎么做。

kuing

没人吗？好吧我先给个最终结果：

kuing

这样搞是不是很坑爹呢？

记
\[t=\frac{x-a^2}{x+a^2},u=\frac{x-b^2}{x+b^2},v=\frac{x-c^2}{x+c^2},\]
则原方程等价于
\begin{gather*}
t^2+u^2+v^2+2tuv=1, \\
(t+u+v)^2-2(tu+uv+vt)+2tuv=1, \\
(t+u+v)^2-2(t+u+v)+1=2-2(t+u+v)+2(tu+uv+vt)-2tuv, \\
(t+u+v-1)^2=2(1-t)(1-u)(1-v),
\end{gather*}
由（注：以下部分的轮换求和或求积符号不作用于 $x$，其实这个注多余，因为根本没有 $y$）
\begin{align*}
t+u+v-1&=\sum\frac{x-a^2}{x+a^2}-1 \\
& =\frac{\sum(x-a^2)(x+b^2)(x+c^2)-\prod(x+a^2)}{\prod(x+a^2)} \\
& =\frac{\sum(x+a^2-2a^2)(x+b^2)(x+c^2)-\prod(x+a^2)}{\prod(x+a^2)} \\
& =\frac{2\prod(x+a^2)-2\sum a^2(x+b^2)(x+c^2)}{\prod(x+a^2)} \\
& =\frac{2x^3+2x^2\sum a^2+2x\sum a^2b^2+2a^2b^2c^2-2x^2\sum a^2-4x\sum a^2b^2-6a^2b^2c^2}{\prod(x+a^2)} \\
& =\frac{2x^3-2x\sum a^2b^2-4a^2b^2c^2}{\prod(x+a^2)},
\end{align*}
以及
\[(1-t)(1-u)(1-v)=\prod\left( 1-\frac{x-a^2}{x+a^2} \right)=\prod\frac{2a^2}{x+a^2}=\frac{8a^2b^2c^2}{\prod(x+a^2)},\]
所以原方程等价于
\[\left( \frac{2x^3-2x\sum a^2b^2-4a^2b^2c^2}{\prod(x+a^2)} \right)^2=\frac{16a^2b^2c^2}{\prod(x+a^2)},\]
去分母为
\[\left( x^3-x\sum a^2b^2-2a^2b^2c^2 \right)^2=4a^2b^2c^2\prod(x+a^2),\]
两边展开后按 $x$ 整理为
\[x^6-2x^4\sum a^2b^2-8x^3a^2b^2c^2+x^2\left( \sum a^4b^4-2\sum a^4b^2c^2 \right)=0,\]
记 $A=bc$, $B=ca$, $C=ab$，上式即
\[x^6-2x^4\sum A^2-8x^3ABC+x^2\left( \sum A^4-2\sum B^2C^2 \right)=0,\quad (*)\]
由 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3056 一贴可知有等式
\[\sum A^4-2\sum B^2C^2=(A+B+C)(A-B-C)(B-C-A)(C-A-B),\]
记 $s=A+B+C$, $p=A-B-C$, $q=B-C-A$, $r=C-A-B$，则不难验证有如下等式
\begin{align*}
0&=p+q+r+s, \\
8ABC&=pqr+qrs+rsp+spq, \\
-2(A^2+B^2+C^2)&=pq+qr+rp+sp+sq+sr,
\end{align*}
可见式 (*) 可以因式化解为
\[x^2(x-p)(x-q)(x-r)(x-s)=0,\]
所以原方程的解集为
\[\{0,ab+bc+ca,ab-bc-ca,bc-ca-ab,ca-ab-bc\}.\]